Giả sử một đồng xu được tung một trăm lần, trong đó sáu mươi lần mặt ngửa lên là cùng một mặt. Có người cho rằng nó có vấn đề, cũng có người nghĩ đây chỉ là một dao động bình thường.
Cả hai cách đánh giá đều có thể được trình bày đầy tự tin. Điều thực sự khó là giải thích căn cứ của mình: nếu đồng xu cân đối, kết quả như vậy hiếm đến mức nào? Cách tung có ổn định không? Nếu thay một tập quan sát khác, tỉ lệ sẽ thay đổi ra sao?
MATH003 "Xác suất và Thống kê: Khoa học của sự bất định" của EvoClass là một khóa học ở trình độ nhập môn đại học, hiện gồm mười một tiết, với yêu cầu trong phần mô tả khóa học là có nền tảng một năm giải tích. Khóa học kết nối mô hình xác suất, biến ngẫu nhiên, phân phối mẫu và suy luận thống kê, giúp người học biến "trông có vẻ bất thường" thành một vấn đề có thể thảo luận và kiểm định.
Trước khi kết luận là ngẫu nhiên, hãy nói rõ điều gì sẽ thay đổi ngẫu nhiên
Một câu "xác suất là một nửa" cần có một phép thử và một biến cố được xác định rõ ràng. Quan sát mặt nào? Tung như thế nào? Các kết quả liên tiếp có thể được coi là độc lập hay không? Nếu những điều kiện này mơ hồ, phép tính tiếp theo có thể đã trả lời một câu hỏi khác.
Lesson 1: Nền tảng mô hình xác suất đi từ trực giác đến không gian mẫu, biến cố, xác suất có điều kiện và tính độc lập.
Bài toán tấm thẻ hai màu trong tài liệu bài giảng đặc biệt phù hợp để tự nhắc mình: sau khi có thêm một thông tin mới, những khả năng còn lại không nhất thiết vẫn đồng khả năng. Trực giác sẽ nhanh chóng chia chúng thành vài lựa chọn, nhưng mô hình lại đòi hỏi tiếp tục hỏi: mỗi lựa chọn đã được quan sát bằng cách nào.
Đó cũng là giá trị của ngôn ngữ xác suất. Nó giúp hai bên trước tiên thống nhất đối tượng đang bàn, rồi mới so sánh lập luận của mỗi người, thay vì chỉ qua lại giữa những "tôi nghĩ rằng".
Con số tính từ một mẫu cũng sẽ thay đổi
Sáu mươi lần mặt ngửa là kết quả của một trăm lần thử này. Nếu làm lại một trăm lần nữa, kết quả thường sẽ không lặp lại y như vậy. Các thống kê như tỉ lệ mẫu, trung bình mẫu cũng thay đổi theo mẫu.
Trong Lesson 4: Phân phối mẫu và các định lý giới hạn, khóa học phân tích chính bản thân các thống kê như những biến ngẫu nhiên, đồng thời thảo luận luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm, sai số và cỡ mẫu.
Từ đó, câu hỏi bắt đầu chuyển từ "tỉ lệ lần này là bao nhiêu" sang "dưới mô hình này, một tỉ lệ như vậy có thể dao động ra sao". Chỉ khi ấy, một kết quả riêng lẻ mới có bối cảnh để so sánh.
Tăng cỡ mẫu thường có thể giảm sai số ngẫu nhiên, nhưng vẫn cần kiểm tra quá trình lấy mẫu. Nếu đối tượng quan sát luôn nghiêng về một loại nào đó, thì nhiều ghi nhận hơn cũng có thể chỉ là lặp lại sai lệch một cách ổn định hơn.
Từ dữ liệu đến kết luận, cần trình bày phương pháp suy luận
Mô hình xác suất giúp chúng ta thảo luận về dữ liệu có thể xuất hiện, còn suy luận thống kê xuất phát từ dữ liệu đã quan sát để nghiên cứu cơ chế hoặc tham số chưa biết.
Lesson 5: Nền tảng suy luận thống kê gắn kết mẫu, mô hình và suy luận. Điều cần luyện tập ở đây là phân biệt nội dung nào đến từ quan sát và nội dung nào phụ thuộc vào những giả định bổ sung.
Đi tiếp vào Lesson 7: Suy luận thống kê Bayes, tiên nghiệm, hàm hợp lý và hậu nghiệm cho "cách cập nhật đánh giá sau khi thấy dữ liệu mới" một hình thức diễn đạt rõ ràng. Đánh giá sau khi cập nhật phụ thuộc đồng thời vào dữ liệu quan sát và tiên nghiệm được sử dụng, nên khi học cũng cần kiểm tra ảnh hưởng của những lựa chọn này.
Các phương pháp suy luận khác nhau có những điều kiện và cách diễn giải riêng. Hiểu những điều kiện này hữu ích hơn là coi một con số như phán quyết cuối cùng. Sáu mươi lần mặt ngửa trong ví dụ đồng xu tự nó vẫn chưa thể thay chúng ta trình bày một phân tích đầy đủ.
Sau khi tính chính xác, hãy kiểm tra xem mô hình có phù hợp
Nếu một phần phép thử được thực hiện bằng thiết bị khác, hoặc cách tung thay đổi giữa chừng, thì việc coi toàn bộ ghi nhận là cùng một quá trình ổn định cần được xem xét lại.
Lesson 9: Kiểm tra và chẩn đoán mô hình chuyển sự chú ý từ ước lượng tham số sang kiểm tra mô hình. Các chủ đề như phần dư, kiểm tra độ phù hợp và kiểm định chéo giúp người học tìm ra những khác biệt chưa được giải thích giữa giả định và dữ liệu.
Có thể tự sắp xếp một bài luyện nhỏ: trước tiên viết ra dữ liệu đã được tạo ra như thế nào, sau đó nói rõ định dùng mô hình gì, cuối cùng liệt kê những quan sát nào sẽ khiến mình nghi ngờ mô hình đó. Dù tạm thời chưa làm phép tính phức tạp, ba bước này cũng có thể khiến một đánh giá trở nên rõ ràng hơn.
Tình huống đồng xu trong bài không đưa ra kết luận thực nghiệm, mà chỉ cung cấp điểm khởi đầu cho con đường tư duy này. Trên trang khóa học MATH003, có thể tiếp tục đi sâu theo xác suất, lấy mẫu và suy luận.
Khi một kết quả trở nên đặc biệt nổi bật, đáng để nhìn thêm một bước: nó xuất hiện trong điều kiện nào? Nó có thể dao động ra sao? Còn những cách giải thích nào chưa bị loại trừ? Hiểu biết về sự bất định bắt đầu từ chính những câu hỏi này.
Bài viết này được biên soạn dựa trên phần tóm tắt khóa học và tài liệu bài giảng hiện tại của EvoClass; các liên kết bài học trỏ tới tài liệu tiếng Anh. Dữ liệu đồng xu là ví dụ giảng dạy được đặt ra, chưa thực hiện thí nghiệm hay kiểm định giả thuyết dựa trên đó; khóa học có liên quan đến nền tảng giải tích, phù hợp để học tuần tự ở trình độ đại học.