Supponiamo che una moneta venga lanciata cento volte e che in sessanta lanci esca la stessa faccia. C'è chi pensa che abbia qualcosa che non va, e chi ritiene che si tratti di una normale fluttuazione.
Entrambi i giudizi possono essere espressi con molta sicurezza. Il punto davvero difficile è spiegare su cosa si fondano: se la moneta è equa, quanto è raro un risultato simile? Il modo di lanciare è stabile? Se si cambiasse gruppo di osservazioni, come varierebbe la proporzione?
MATH003 "Probabilità e statistica: la scienza dell'incertezza" di EvoClass è un corso di livello introduttivo universitario, attualmente composto da undici lezioni; il programma richiede una base di un anno di calcolo differenziale e integrale. Il corso collega modelli probabilistici, variabili casuali, distribuzioni campionarie e inferenza statistica, aiutando chi studia a trasformare ciò che "sembra insolito" in una questione discutibile e verificabile.
Prima di giudicare il caso, chiarire che cosa varia in modo casuale
Dietro la frase "la probabilità è un mezzo" serve un esperimento e un evento ben definiti. Quale faccia si osserva? Come si lancia? I risultati successivi possono essere considerati indipendenti? Se queste condizioni restano vaghe, i calcoli successivi rischiano di rispondere a un'altra domanda.
La Lezione 1: Fondamenti dei modelli probabilistici parte dall'intuizione per arrivare a spazio campionario, eventi, probabilità condizionata e indipendenza.
Il problema delle carte bicolori presente nei materiali didattici è particolarmente adatto a ricordare una cosa: dopo aver ottenuto una nuova informazione, le possibilità rimanenti non sono necessariamente ancora equiprobabili. L'intuizione le riduce rapidamente a poche opzioni, mentre il modello richiede di chiedersi ancora come ciascuna opzione sia stata osservata.
È qui che sta il valore del linguaggio della probabilità. Permette alle due parti di allineare prima l'oggetto della discussione e poi di confrontare i rispettivi ragionamenti, invece di alternare soltanto "secondo me".
Anche il numero ottenuto da un campione cambia
Sessanta teste sono il risultato di questi cento lanci. Se si ripetessero i cento lanci, il risultato di solito non sarebbe identico. Anche statistiche come la proporzione campionaria e la media campionaria cambiano al variare del campione.
Nella Lezione 4: Distribuzioni campionarie e teoremi limite, il corso analizza la statistica stessa come variabile casuale e affronta la legge dei grandi numeri, il teorema limite centrale, l'errore e la dimensione del campione.
Così la domanda passa da "qual è la proporzione in questo caso" a "in che modo questa proporzione può variare sotto questo modello". Solo allora un singolo risultato acquista un contesto con cui confrontarsi.
Aumentare la dimensione del campione spesso riduce l'errore casuale, ma resta necessario verificare il processo di campionamento. Se gli oggetti osservati appartengono sempre a una certa categoria, più registrazioni potrebbero semplicemente ripetere la distorsione in modo più stabile.
Passare dai dati alle conclusioni richiede di esplicitare il metodo di inferenza
I modelli probabilistici ci aiutano a discutere i dati che potrebbero verificarsi, mentre l'inferenza statistica parte dai dati già osservati per studiare meccanismi o parametri sconosciuti.
La Lezione 5: Fondamenti dell'inferenza statistica collega campione, modello e inferenza. Qui l'esercizio richiesto è distinguere ciò che deriva dall'osservazione da ciò che dipende da ipotesi aggiuntive.
Proseguendo nella Lezione 7: Inferenza statistica bayesiana, prior, verosimiglianza e posteriore offrono un modo esplicito di esprimere "come aggiornare il giudizio dopo aver visto nuovi dati". Il giudizio aggiornato dipende sia dai dati osservati sia dalla distribuzione a priori adottata, e nello studio è necessario verificare anche l'effetto di queste scelte.
Metodi di inferenza diversi hanno condizioni e interpretazioni proprie. Comprendere queste condizioni è più utile che trattare un numero come verdetto finale. Le sessanta teste dell'esempio della moneta, di per sé, non possono ancora illustrare l'analisi completa al posto nostro.
Dopo aver calcolato con precisione, verificare se il modello è adeguato
Se una parte delle prove fosse stata condotta con dispositivi diversi, o se il modo di lanciare fosse cambiato a metà, considerare tutte le registrazioni come un unico processo stabile richiederebbe una nuova riflessione.
La Lezione 9: Verifica e diagnostica dei modelli sposta l'attenzione dalla stima dei parametri alla verifica del modello. Temi come i residui, i controlli di adattamento e la validazione incrociata aiutano chi studia a cercare le differenze ancora non spiegate tra ipotesi e dati.
Si può assegnarsi un piccolo esercizio: scrivere prima come sono stati prodotti i dati, poi indicare quale modello si intende usare e infine elencare quali osservazioni farebbero dubitare del modello. Anche senza svolgere calcoli complessi, questi tre passi rendono un giudizio più chiaro.
La situazione della moneta descritta nel testo non fornisce una conclusione sperimentale, ma offre un punto di partenza per questo percorso di ragionamento. Nella pagina del corso MATH003 è possibile approfondire lungo il filo di probabilità, campionamento e inferenza.
Quando un risultato appare particolarmente notevole, vale la pena fare un passo in più: in quali condizioni si è verificato? Come potrebbe variare? Quali spiegazioni non sono state ancora escluse? La comprensione dell'incertezza comincia proprio da queste domande.
Questo articolo è redatto sulla base della descrizione attuale del corso e dei materiali didattici di EvoClass; i link alle lezioni rimandano a materiali in inglese. I dati sulla moneta sono un esempio didattico ipotetico: non è stato eseguito alcun esperimento né condotto un test di ipotesi su di essi; il corso richiede basi di calcolo differenziale e integrale ed è pensato per uno studio progressivo di livello universitario.