Supposez qu'une pièce soit lancée cent fois et que, soixante fois, ce soit la même face qui apparaisse. Certains y voient un problème ; d'autres, une simple fluctuation ordinaire.
Les deux jugements peuvent être énoncés avec assurance. La véritable difficulté consiste à expliquer sur quoi on s'appuie : si la pièce est équitable, à quel point ce résultat est-il rare ? La manière de lancer est-elle constante ? Si l'on change de série d'observations, comment la proportion variera-t-elle ?
MATH003 « Probabilités et statistiques : la science de l'incertitude », cours d'introduction de niveau universitaire proposé par EvoClass, comprend actuellement onze leçons ; sa description exige une année de calcul infinitésimal. Il relie modèles probabilistes, variables aléatoires, distributions d'échantillonnage et inférence statistique, afin d'aider les apprenants à transformer ce qui « paraît inhabituel » en une question que l'on peut discuter et tester.
Avant de juger du hasard, préciser ce qui varie aléatoirement
Dire « la probabilité est d'une chance sur deux » suppose un essai et un événement clairement définis. Quelle face observe-t-on ? Comment lance-t-on ? Les résultats successifs peuvent-ils être considérés comme indépendants ? Si ces conditions restent floues, les calculs qui suivent risquent de répondre à une autre question.
Leçon 1 : Fondements des modèles probabilistes part de l'intuition pour introduire l'univers des possibles, les événements, la probabilité conditionnelle et l'indépendance.
Le problème des cartes bicolores présenté dans le support est particulièrement utile pour se le rappeler : après l'obtention d'une information nouvelle, les possibilités restantes ne sont pas nécessairement encore équiprobables. L'intuition les réduit vite à quelques options, mais le modèle exige de poursuivre : comment chacune de ces options a-t-elle été observée ?
C'est là tout l'intérêt du langage probabiliste. Il permet aux interlocuteurs de s'accorder d'abord sur l'objet du débat, puis de comparer leurs raisonnements, au lieu d'osciller entre des « je pense que ».
Le chiffre tiré d'un échantillon varie lui aussi
Soixante faces sur cent, c'est le résultat de cette série de cent essais. Si l'on refaisait cent lancers, le résultat ne se reproduirait généralement pas à l'identique. La proportion observée, la moyenne d'échantillon et les autres statistiques varient elles aussi d'un échantillon à l'autre.
Dans la Leçon 4 : Distributions d'échantillonnage et théorèmes limites, le cours analyse la statistique elle-même comme une variable aléatoire et aborde la loi des grands nombres, le théorème central limite, l'erreur et la taille de l'échantillon.
La question passe alors de « quelle est cette proportion-ci ? » à « comment une telle proportion peut-elle fluctuer sous ce modèle ? ». Un résultat isolé acquiert enfin un contexte auquel se comparer.
Augmenter la taille de l'échantillon permet souvent de réduire l'erreur aléatoire, mais il faut encore examiner le processus d'échantillonnage. Si les observations se portent toujours vers une même catégorie, multiplier les relevés ne fait peut-être que reproduire le biais de manière plus stable.
Passer des données à une conclusion demande de préciser la méthode d'inférence
Les modèles probabilistes aident à discuter des données possibles ; l'inférence statistique, elle, part des données déjà observées pour étudier un mécanisme ou un paramètre inconnu.
La Leçon 5 : Fondements de l'inférence statistique relie échantillon, modèle et inférence. L'exercice consiste ici à distinguer ce qui provient de l'observation de ce qui dépend d'hypothèses supplémentaires.
En poursuivant avec la Leçon 7 : Inférence statistique bayésienne, le prior, la vraisemblance et le posterior donnent une expression précise à la question « comment actualiser son jugement après avoir vu de nouvelles données ». Le jugement actualisé dépend à la fois des observations et du prior retenu ; l'apprentissage demande donc aussi d'examiner l'effet de ces choix.
Les différentes méthodes d'inférence ont chacune leurs conditions et leur interprétation. Comprendre ces conditions est plus utile que de traiter un chiffre comme un verdict définitif. Dans l'exemple de la pièce, les soixante faces ne suffisent pas, à elles seules, à rendre compte d'une analyse complète.
Après le calcul précis, vérifier l'adéquation du modèle
Si une partie des essais a été réalisée avec un autre dispositif, ou si la manière de lancer a changé en cours de route, il faut reconsidérer l'hypothèse selon laquelle tous les relevés proviennent d'un même processus stable.
La Leçon 9 : Vérification et diagnostic des modèles déplace l'attention de l'estimation des paramètres vers l'examen du modèle. Les résidus, les contrôles d'ajustement et la validation croisée aident les apprenants à repérer les écarts encore inexpliqués entre hypothèses et données.
On peut se proposer un petit exercice : noter d'abord comment les données ont été produites, indiquer ensuite le modèle que l'on compte utiliser, puis dresser la liste des observations qui feraient douter de ce modèle. Même sans calculs complexes pour l'instant, ces trois étapes rendent un jugement plus clair.
La situation de la pièce décrite ici ne fournit pas de conclusion expérimentale : elle sert de point de départ à ce cheminement. Sur la page du cours MATH003, il est possible d'approfondir en suivant le fil des probabilités, de l'échantillonnage et de l'inférence.
Quand un résultat paraît particulièrement frappant, il vaut la peine de pousser l'examen d'un cran : dans quelles conditions est-il apparu ? Comment peut-il fluctuer ? Quelles explications n'ont pas encore été écartées ? La compréhension de l'incertitude commence par ces questions.
Cet article s'appuie sur la présentation actuelle des cours et les supports pédagogiques d'EvoClass ; les liens vers les leçons renvoient à des documents en anglais. Les données relatives à la pièce constituent un exemple pédagogique fictif ; aucune expérience n'a été réalisée et aucun test d'hypothèse n'a été effectué à partir de ces données. Le cours suppose des bases de calcul infinitésimal et se prête à un apprentissage progressif de niveau universitaire.