【人教版】高中數學 選擇性必修 第三冊 (A版)

📚 內容摘要

本教材主要涵蓋高中數學進階內容，包括計數原理（分類加法、分步乘法、排列組合及二項式定理）、隨機變量及其分布（條件概率、離散型分佈、二項分佈及常態分佈）以及成對資料的統計分析（一元線性回歸、獨立性檢驗）。

探索計數之規，感悟隨機之律，成就資料分析之核。

作者： 章建躍，李增滬

致謝： 本書經國家教材委員會專家委員會審核通過（2019）

🎯 學習目標

1. 能夠準確區分並應用分類加法計數原理與分步乘法計數原理解決實際問題。
2. 理解二項式係數的性質（對稱性、增減性、和），並能利用楊輝三角解決組合數求和問題。
3. 能夠建立數學模型，分析電腦執行路徑數量及汽車號牌的編碼容量，證明二項式定理的推廣形式。
4. 能夠熟練運用全機率公式與貝葉斯公式解決複雜背景下的機率計算問題。
5. 理解離散型隨機變量的概念，掌握分佈列的性質並能獨立求解均值（期望）與方差。
6. 能夠準確識別 n 重伯努利試驗，區分二項分佈與超幾何分佈的適用場景（有放回與無放回抽樣）。
7. 能夠區分相關關係與函數關係，透過散點圖判斷正負相關，並計算樣本相關係數 r 來衡量線性相關強度。
8. 掌握最小平方法估計一元線性回歸參數，建立經驗回歸方程，並進行合理的預測與殘差分析。
9. 理解獨立性檢驗的基本原理，能設立零假設並利用 \chi^2 統計量對分類變數的獨立性做出判斷。

🔹 第一課：計數原理

概要： 本課時涵蓋計數的核心邏輯，重點講解分類加法計數原理與分步乘法計數原理的定義、區別及應用。同時深入探討二項式定理的結構，包括楊輝三角的數值規律、二項式係數的對稱性與增減性，以及這些數學模型在電腦程式測試與民用車牌規則中的實際應用。

學習成果：

• 能夠準確區分並應用分類加法計數原理與分步乘法計數原理解決實際問題。
• 理解二項式係數的性質（對稱性、增減性、和），並能利用楊輝三角解決組合數求和問題。
• 能夠建立數學模型，分析電腦執行路徑數量及汽車號牌的編碼容量，證明二項式定理的推廣形式。

🔹 第二課：隨機變量及其分佈

概要： 本課程模塊涵蓋從條件機率到離散型隨機變量及其分佈的完整知識體系。核心內容包括條件機率的三大公式（乘法、全機率、貝葉斯）及其在人工智慧與博奕論中的應用，以及二項分佈與超幾何分佈的對比。

學習成果：

• 能夠熟練運用全機率公式與貝葉斯公式解決複雜背景下的機率計算問題。
• 理解離散型隨機變量的概念，掌握分佈列的性質並能獨立求解均值（期望）與方差。
• 能夠準確識別 n 重伯努利試驗，區分二項分佈與超幾何分佈的適用場景。

🔹 第三課：成對資料的統計分析

概要： 本課程旨在透過對成對資料的統計分析，引導學生理解變數間的非確定性相關關係。學生將學習從散點圖的直觀觀察到樣本相關係數的定量刻畫，掌握一元線性回歸模型的建立、評價及預測應用。

學習成果：

• 能夠區分相關關係與函數關係，透過散點圖判斷正負相關，並計算樣本相關係數 r 來衡量線性相關強度。
• 掌握最小平方法估計一元線性回歸參數，建立經驗回歸方程，並進行合理的預測與殘差分析。
• 理解獨立性檢驗的基本原理，能設立零假設並利用 \chi^2 統計量對分類變數的獨立性做出判斷。