【Учебник по программе человека】Выборные обязательные курсы по математике для старших классов, часть третья (версия А)

📚 Обзор содержания

Настоящий учебник в основном охватывает продвинутые темы школьной математики, включая принципы подсчёта (сложение по категориям, умножение по шагам, перестановки и сочетания, а также биномиальная теорема), случайные величины и их распределения (условная вероятность, дискретные распределения, биномиальное и нормальное распределения), а также статистический анализ парных данных (линейная регрессия первого порядка, проверка независимости).

Исследуйте правила подсчёта, почувствуйте законы случайности, освойте основы анализа данных.

Автор: Чжан Цзянььюэ, Ли Цзэнху

Благодарности: Настоящий учебник был одобрен экспертным комитетом Государственного комитета по учебникам (2019)

🎯 Цели обучения

1. Уметь точно различать и применять принцип сложения по категориям и принцип умножения по шагам для решения практических задач.
2. Понимать свойства биномиальных коэффициентов (симметрия, монотонность, сумма) и уметь использовать треугольник Шэй-Хуя для решения задач на сумму сочетаний.
3. Уметь строить математические модели, анализировать количество путей выполнения компьютерной программы и ёмкость кодирования автомобильных номеров, а также доказывать обобщённую форму биномиальной теоремы.
4. Уметь свободно применять формулу полной вероятности и формулу Байеса для решения задач на вычисление вероятностей в сложных контекстах.
5. Понимать концепцию дискретной случайной величины, владеть свойствами функции распределения и самостоятельно находить среднее значение (математическое ожидание) и дисперсию.
6. Уметь точно определять n-кратный испытания Бернулли, различать области применения биномиального и гипергеометрического распределений (с возвращением и без возвращения выборки).
7. Уметь отличать корреляционную зависимость от функциональной зависимости, определять положительную или отрицательную корреляцию по точечной диаграмме, а также вычислять выборочный коэффициент корреляции r для оценки силы линейной связи.
8. Владеть методом наименьших квадратов для оценки параметров линейной регрессии первого порядка, строить эмпирическое уравнение регрессии и проводить разумные прогнозы и анализ остатков.
9. Понимать основные принципы проверки независимости, уметь формулировать нулевую гипотезу и с помощью статистики \chi^2 делать выводы о независимости категориальных переменных.

🔹 Урок 1: Принципы подсчёта

Обзор: В этом уроке рассматриваются основные логические принципы подсчёта, подробно изучаются определения, различия и применение принципа сложения по категориям и принципа умножения по шагам. Также глубоко исследуется структура биномиальной теоремы, включая числовые закономерности треугольника Шэй-Хуя, симметрию и монотонность биномиальных коэффициентов, а также практическое применение этих математических моделей в тестировании программного обеспечения и правилах оформления гражданских номеров транспортных средств.

Результаты обучения:

• Уметь точно различать и применять принцип сложения по категориям и принцип умножения по шагам для решения практических задач.
• Понимать свойства биномиальных коэффициентов (симметрия, монотонность, сумма) и уметь использовать треугольник Шэй-Хуя для решения задач на сумму сочетаний.
• Уметь строить математические модели, анализировать количество путей выполнения компьютерной программы и ёмкость кодирования автомобильных номеров, а также доказывать обобщённую форму биномиальной теоремы.

🔹 Урок 2: Случайные величины и их распределения

Обзор: Этот модуль курса охватывает полную систему знаний от условной вероятности до дискретных случайных величин и их распределений. Основное содержание включает три ключевые формулы условной вероятности (формула умножения, формула полной вероятности, формула Байеса) и их применение в искусственном интеллекте и теории игр, а также сравнение биномиального и гипергеометрического распределений.

Результаты обучения:

• Уметь свободно применять формулу полной вероятности и формулу Байеса для решения задач на вычисление вероятностей в сложных контекстах.
• Понимать концепцию дискретной случайной величины, владеть свойствами функции распределения и самостоятельно находить среднее значение (математическое ожидание) и дисперсию.
• Уметь точно определять n-кратный испытания Бернулли, различать области применения биномиального и гипергеометрического распределений.

🔹 Урок 3: Статистический анализ парных данных

Обзор: Настоящий курс направлен на то, чтобы помочь студентам понять неопределённые корреляционные отношения между переменными через статистический анализ парных данных. Учащиеся научатся переходить от наглядного наблюдения по точечной диаграмме к количественной оценке с помощью выборочного коэффициента корреляции, освоят построение, оценку и применение модели линейной регрессии первого порядка.

Результаты обучения:

• Уметь отличать корреляционную зависимость от функциональной зависимости, определять положительную или отрицательную корреляцию по точечной диаграмме, а также вычислять выборочный коэффициент корреляции r для оценки силы линейной связи.
• Владеть методом наименьших квадратов для оценки параметров линейной регрессии первого порядка, строить эмпирическое уравнение регрессии и проводить разумные прогнозы и анализ остатков.
• Понимать основные принципы проверки независимости, уметь формулировать нулевую гипотезу и с помощью статистики \chi^2 делать выводы о независимости категориальных переменных.