【人民教育版】高校数学 選択必修 第三冊 (A版)

📚 コンテンツ概要

本教材は高校数学の応用内容を中心に扱い、組合せの原理（分類加法、段階乗法、順列・組合せおよび二項定理）、確率変数とその分布（条件付き確率、離散型分布、二項分布および正規分布）、対データの統計分析（単回帰分析、独立性検定）を含む。

組合せの法則を探求し、確率の法則を感じ取り、データ解析の核心に到達する。

著者: 章建躍, 李増滬

謝辞: 本書は国家教材委員会専門委員会による審査を経て承認された（2019年）

🎯 学習目標

1. 分類加法計数原理と段階乗法計数原理を正確に区別し、実際の問題解決に適用できる。
2. 二項係数の性質（対称性、増減性、和）を理解し、楊輝三角を用いて組合せ数の和を求めることができる。
3. 数学モデルを構築し、コンピュータの実行パス数や自動車ナンバープレートの符号容量を分析し、二項定理の拡張形を証明できる。
4. 複雑な状況下での確率計算に対して、全確率の公式とベイズの公式を熟練して使用できる。
5. 離散型確率変数の概念を理解し、確率分布の性質を掌握し、期待値と分散を自力で求められる。
6. n 回ベルヌーイ試行を正確に識別し、二項分布と超幾何分布の適用場面（復元抽出と非復元抽出）を区別できる。
7. 相関関係と関数関係を区別でき、散布図から正負の相関を判断し、標本相関係数 r を計算して線形相関の強さを測定できる。
8. 最小二乗法を用いて単回帰分析のパラメータを推定し、経験回帰方程式を構築し、合理的な予測と残差分析を行うことができる。
9. 独立性検定の基本原理を理解し、帰無仮説を設定し、\chi^2 検定統計量を用いてカテゴリカル変数の独立性を判断できる。

🔹 レッスン1：計数原理

概要: 本授業では計数の中心的な論理を扱い、分類加法計数原理と段階乗法計数原理の定義、違い、および応用について重点的に解説する。また、二項定理の構造を深く探求し、楊輝三角の数値的パターン、二項係数の対称性と増減性について考察する。さらに、これらの数学モデルがコンピュータプログラムのテストや民用手番号規則における実際の応用事例も紹介する。

学習成果:

• 分類加法計数原理と段階乗法計数原理を正確に区別し、実際の問題解決に適用できる。
• 二項係数の性質（対称性、増減性、和）を理解し、楊輝三角を用いて組合せ数の和を求めることができる。
• 数学モデルを構築し、コンピュータの実行パス数や自動車ナンバープレートの符号容量を分析し、二項定理の拡張形を証明できる。

🔹 レッスン2：確率変数とその分布

概要: 本モジュールでは、条件付き確率から始まり、離散型確率変数とその分布までの一連の知識体系をカバーする。主な内容として、条件付き確率の三大公式（乗法定理、全確率の公式、ベイズの公式）および人工知能やゲーム理論における応用、二項分布と超幾何分布の比較が含まれる。

学習成果:

• 複雑な状況下での確率計算に対して、全確率の公式とベイズの公式を熟練して使用できる。
• 離散型確率変数の概念を理解し、確率分布の性質を掌握し、期待値と分散を自力で求められる。
• n 回ベルヌーイ試行を正確に識別し、二項分布と超幾何分布の適用場面を区別できる。

🔹 レッスン3：対データの統計分析

概要: 本授業では、対となるデータの統計分析を通じて、変数間の決定的ではない相関関係の理解を目指す。学生は散布図からの直感的な観察から始まり、標本相関係数による定量的な記述まで学び、単回帰モデルの構築、評価、予測応用を習得する。

学習成果:

• 相関関係と関数関係を区別でき、散布図から正負の相関を判断し、標本相関係数 r を計算して線形相関の強さを測定できる。
• 最小二乗法を用いて単回帰分析のパラメータを推定し、経験回帰方程式を構築し、合理的な予測と残差分析を行うことができる。
• 独立性検定の基本原理を理解し、帰無仮説を設定し、\chi^2 検定統計量を用いてカテゴリカル変数の独立性を判断できる。