初等微分方程與邊界值問題

概述： 本課介紹「數學建模」的過程，將實際現象（如物體下落與人口動態）轉化為微分方程。學生將學習使用「方向場」作為分析這些模型的強大工具，進行定性研究。

學習成果：

• 根據物理定律建立微分方程，特別是大氣中物體下落時的牛頓第二定律。
• 建構並解讀方向場，以視覺化一階微分方程解的行為。
• 識別與分析平衡解與終端速度，以判斷系統的定性行為。

概述： 本課探討一階微分方程的基本理論、求解技巧與實際應用。掌握解析方法（如積分因子法與變數分離法），同時學習歐拉法等數值逼近技術。

學習成果：

• 按階數分類微分方程，並判斷其線性或非線性。
• 使用積分因子、變數分離法，以及處理精確方程或貝爾努利方程的方法求解一階方程。
• 將一階常微分方程應用於建模實際現象，如混合問題、放射碳定年法與冷卻定律。

概述： 本課探討二階線性微分方程的理論與應用，重點在齊次與非齊次形式。探討具常係數方程在不同根型態下的解，並應用於機械與電路系統。

學習成果：

• 求解具有常係數的二階線性齊次方程，並利用朗斯基行列式驗證基本解組。
• 應用待定係數法與參數變換法，尋找非齊次方程的特解。
• 建模與分析物理系統（振動與電路），以辨識共振、拍頻以及暫態／穩態等現象。

概述： 本課將線性微分方程理論從二階延伸至 n 階。建立基本的存在性與唯一性定理，並提供求解高階方程（含常係數與變係數）的系統方法。

學習成果：

• 確定 n 階線性初值問題解的存在性與唯一性區間。
• 利用朗斯基行列式驗證函數的線性無關性，並找出基本解組。
• 透過辨識特徵多項式的實根、重根與複根，構造常係數齊次方程的通解。

概述： 本課探討當解無法以初等函數表示時，如何運用冪級數求解二階線性微分方程。學生將區分點的類型，並應用富比尼方法。

學習成果：

• 辨識與分類點：區分微分方程中的普通點、正則奇異點與不規則奇異點。
• 推導級數解：運用冪級數展開與富比尼方法，求得一般解並確定收斂半徑。
• 分析特殊函數：定義並求解經典方程（艾里、厄米、勒讓德、貝塞爾），並辨識其多項式或超越解。

概述： 本課探討拉普拉斯變換作為一種強大的積分變換，可將帶初始條件的線性微分方程轉化為代數方程。處理包含分段連續函數與衝量輸入的複雜激勵函數。

學習成果：

• 定義拉普拉斯變換，並根據分段連續性與指數階來判斷其存在性。
• 透過變換至 s-域並套用反變換，求解二階線性初值問題（IVP）。
• 利用海維賽德（單位階躍）函數與平移定理，表示並變換不連續的激勵函數。

概述： 本課探討一階線性微分方程組的理論與應用。使用線性代數工具（如特徵值與矩陣指數）求解複雜系統情境。

學習成果：

• 將任意 n 階線性微分方程轉化為 n 個一階方程組。
• 使用特徵值與特徵向量求解常係數齊次線性系統，包括重根情形。
• 建構基本矩陣，並利用矩陣指數 \exp(\mathbf{A}t) 與對角化技術求解系統。

概述： 本課介紹求解常微分方程的基本數值技術，從單步法到多步預測-校正方法。強調近似精度與數值穩定性之間的平衡。

學習成果：

• 實施並比較歐拉法（顯式）與後向歐拉法（隱式）。
• 量化並區分局部截斷誤差、全域截斷誤差與捨入誤差。
• 應用多步法（阿達姆斯-巴什福斯／莫爾頓）與預測-校正迴圈，提升計算精度。

概述： 本課探討利用相平面技術對非線性自治系統進行定性分析。從分類線性系統進展至分析洛倫茲系統中的極限環與混沌等複雜行為。

學習成果：

• 根據特徵值與相圖，分類線性與非線性系統的臨界點。
• 使用雅可比矩陣對自治非線性系統進行線性化，以判斷局部穩定性。
• 應用李雅普諾夫第二方法與波因卡雷–班迪克斯森定理，證明穩定性或週期解的存在性。

概述： 本課介紹求解描述熱傳導、波動傳播與穩態溫度的線性偏微分方程的技術。利用傅立葉級數與分離變數法，將偏微分方程轉化為常微分方程。

學習成果：

• 求解兩點邊界值問題，並判斷唯一解、無窮多解或無解的條件。
• 使用歐拉-傅立葉公式將週期函數展開為傅立葉級數，並辨識偶函數與奇函數性質。
• 應用分離變數法求解熱方程、波動方程與拉普拉斯方程。

概述： 本課探討史圖姆-劉維爾（S-L）問題的理論框架。內容包括自伴算子的性質、特徵函數的正交性，以及格林函數在非齊次問題中的應用。

學習成果：

• 定義並辨識正則與奇異的史圖姆-劉維爾邊界值問題。
• 利用拉格朗日恆等式證明算子的自伴性與特徵函數的正交性。
• 透過特徵函數展開與格林函數，求解非齊次邊界值問題。