【Учебник по математике для старших классов (человек)】 Выборный обязательный курс, часть 1 (версия А)

📚 Обзор содержания

Настоящий учебник соответствует «Программе по математике для средней школы (2017 год, редакция)», основное содержание включает пространственные векторы и стереометрию, уравнения прямых и окружностей, а также уравнения конических сечений. Курс направлен на развитие ключевых математических компетенций учащихся — математического моделирования, логического рассуждения и наглядного воображения через интеграцию числовых и геометрических методов, а также использование векторных подходов.

Освойте инструменты векторов и аналитической геометрии — откройте дверь к пространственному мышлению в математике.

Автор: Центр исследования и разработки учебников по математике для средних школ, Издательство образовательных материалов, Народное издательство образования

Благодарности: Утверждено экспертным комитетом Комитета по учебникам при государственном органе (2019)

🎯 Цели обучения

1. Понимать и уметь применять понятие пространственного вектора, линейные операции над ними, а также необходимые и достаточные условия коллинеарности и компланарности.
2. Освоить основную теорему о пространственных векторах и уметь строить прямоугольную систему координат для выполнения операций с координатами векторов.
3. Применять направляющие и нормальные векторы пространственных векторов для определения взаимного расположения прямых и плоскостей: параллельность и перпендикулярность.
4. Владеть алгебраическим представлением прямой: глубоко понимать понятия угла наклона и углового коэффициента, свободно использовать уравнение прямой в точке-наклоне, общее уравнение и параметрические уравнения.
5. Количественно определять геометрические отношения и расстояния: знать условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, свободно применять формулы расстояний между двумя точками, от точки до прямой, между параллельными прямыми.
6. Создавать математическую модель окружности: уметь находить стандартное и общее уравнения окружности по заданным условиям, а также определять взаимное расположение точки, прямой и окружности, а также двух окружностей.
7. Владеть стандартными уравнениями: уметь находить стандартные уравнения эллипса, гиперболы и параболы по заданным условиям, проводить классификацию по положению фокусов.
8. Анализировать геометрические свойства: свободно распознавать и вычислять вершины, фокусы, большую и малую оси (действительную и мнимую оси), эксцентриситет конических сечений, а также асимптоты гиперболы и директрису параболы.
9. Решать вопросы взаимного расположения: научиться использовать метод дискриминанта для решения задач о точках пересечения прямой и эллипса, владеть методами вычисления длины хорды и нахождения траектории середины хорды.

🔹 Урок 1: Пространственные векторы и стереометрия

Обзор: В данном разделе методы исследования плоских векторов расширяются до трехмерного пространства, формируется алгебраическая система пространственных векторов. Через изучение линейных операций, скалярного произведения и координатного представления пространственных векторов учащиеся освоят методы использования векторов для анализа взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, а также для решения метрических задач, реализуя переход от геометрической интуиции к алгебраическим вычислениям.

Результаты обучения:

• Понимать и уметь применять понятие пространственного вектора, линейные операции над ними, а также необходимые и достаточные условия коллинеарности и компланарности.
• Освоить основную теорему о пространственных векторах и уметь строить прямоугольную систему координат для выполнения операций с координатами векторов.
• Применять направляющие и нормальные векторы пространственных векторов для определения взаимного расположения прямых и плоскостей: параллельность и перпендикулярность.

🔹 Урок 2: Уравнения прямых и окружностей

Обзор: Содержание данного раздела составляет основу аналитической геометрии в старшей школе, главная цель — преобразование геометрических фигур в алгебраические уравнения с помощью метода координат. Исследуя угол наклона и угловой коэффициент прямой, различные формы уравнений, стандартные и общие уравнения окружности, учащиеся освоят методологию «трех шагов» для решения геометрических задач. Курс направлен на развитие мышления, основанного на сочетании чисел и геометрии, позволяющего точно решать задачи о взаимном расположении, расстояниях и траекториях с помощью алгебраических вычислений.

Результаты обучения:

• Владеть алгебраическим представлением прямой: глубоко понимать понятия угла наклона и углового коэффициента, свободно использовать уравнение прямой в точке-наклоне, общее уравнение и параметрические уравнения.
• Количественно определять геометрические отношения и расстояния: знать условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, свободно применять формулы расстояний между двумя точками, от точки до прямой, между параллельными прямыми.
• Создавать математическую модель окружности: уметь находить стандартное и общее уравнения окружности по заданным условиям, а также определять взаимное расположение точки, прямой и окружности, а также двух окружностей.

🔹 Урок 3: Уравнения конических сечений

Обзор: В этом уроке рассматриваются основные темы аналитической геометрии — эллипс, гипербола и парабола. Курс изучает стандартные уравнения и геометрические свойства этих трёх типов конических сечений с помощью метода координат, исследует взаимное расположение прямой и эллипса, а также использует информационные технологии для изучения траекторий точек. В заключение раскрывается внутренняя связь между графиками квадратичных функций и параболами.

Результаты обучения:

• Владеть стандартными уравнениями: уметь находить стандартные уравнения эллипса, гиперболы и параболы по заданным условиям, проводить классификацию в зависимости от положения фокусов.
• Анализировать геометрические свойства: свободно распознавать и вычислять вершины, фокусы, большую и малую оси, эксцентриситет конических сечений, а также асимптоты гиперболы и директрису параболы.
• Решать вопросы взаимного расположения: научиться использовать метод дискриминанта для решения задач о точках пересечения прямой и эллипса, владеть методами вычисления длины хорды и нахождения траектории середины хорды.