【Учебник по математике для средней школы, выпуск 1 (версия А)】

📚 Краткое содержание

Этот учебник является вводным курсом по математике в старшей школе, охватывающим основные темы: множества и элементарную логику, квадратичные функции, уравнения и неравенства с одной переменной, понятие и свойства функций, показательные и логарифмические функции, а также тригонометрические функции. Цель — формирование ключевых математических компетенций, умения логически рассуждать и осознания необходимости математического моделирования.

Откройте дверь к школьной математике, освойте ключевые понятия и строгие логические методы мышления.

Автор: Издательство образования Китая, научно-методический институт средней школы, центр разработки учебников по математике для средних школ

Благодарности: Настоящий учебник удостоен первого национального приза за развитие учебных материалов — особой награды за лучший учебник страны. Составлен в соответствии с «Программой по математике для средней школы (2017 год)».

🎯 Цели обучения

1. Уметь точно определять определённость, различимость и неупорядоченность множеств, свободно использовать перечисление и описание для представления множеств.
2. Освоить применение диаграмм Венна и формулу для вычисления количества элементов в объединении множеств $ \text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) $.
3. Понимать и различать достаточные, необходимые и необходимые и достаточные условия, уметь использовать логическую терминологию для описания свойств и теорем геометрических фигур.
4. Знать основные факты сравнения действительных чисел, уметь использовать свойства неравенств для алгебраических доказательств и сравнений величин.
5. Понимать геометрическую интерпретацию основного неравенства и условия его применимости («положительные, постоянные, равные»), решать простейшие задачи на нахождение максимума или минимума.
6. Уметь использовать блок-схему решения квадратных неравенств, понимать связь между графиком квадратичной функции, корнями уравнения и множеством решений неравенства, решать сложные практические задачи.
7. Уметь описывать функцию с помощью языка множеств и соответствий, знать критерий тождественности двух функций (совпадение области определения и правила соответствия).
8. Свободно применять три способа представления зависимости между переменными, особенно уметь составлять аналитическое выражение и строить график кусочной функции.
9. Уметь строго доказывать монотонность и чётность/нечётность функций по определению, находить наибольшее и наименьшее значения на заданном интервале.
10. Понимать понятия корня степени n и дробной степени, владеть правилами операций с ними.

🔹 Урок 1: Множества, логика и основы математики

Обзор: Этот модуль охватывает базовые инструменты математики старшей школы: теорию множеств и элементарную логическую терминологию. Сначала рассматриваются основные понятия множеств, характеристики элементов и различные способы их обозначения (перечисление и описание), а также решение задач на подсчёт элементов множеств с помощью диаграмм Венна; затем углубляется изучение логики высказываний, в частности — определения достаточных, необходимых и необходимых и достаточных условий, которые применяются при выводе и исследовании геометрических утверждений (например, признаков параллелограмма).

Результаты обучения:

• Уметь точно определять определённость, различимость и неупорядоченность множеств, свободно использовать перечисление и описание для представления множеств.
• Освоить применение диаграмм Венна и формулу для вычисления количества элементов в объединении множеств $ \text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) $.
• Понимать и различать достаточные, необходимые и необходимые и достаточные условия, уметь использовать логическую терминологию для описания свойств и теорем геометрических фигур.

🔹 Урок 2: Свойства неравенств и методы решения квадратных уравнений

Обзор: В этом разделе рассматриваются основные логические принципы и вычислительные методы, связанные с отношениями «неравенства» в школьной математике. От исходных фактов сравнения действительных чисел систематически изучаются свойства неравенств и их доказательства, вводится важное «основное неравенство» (среднее арифметическое и среднее геометрическое), которое закрепляется решением стандартных задач на квадратные неравенства и их применение в реальных жизненных ситуациях. Через интеграцию функций, уравнений и неравенств («трехмерный взгляд») помогает ученикам сформировать целостную модель квадратной зависимости.

Результаты обучения:

• Знать основные факты сравнения действительных чисел, уметь использовать свойства неравенств для алгебраических доказательств и сравнения величин.
• Понимать геометрическую интерпретацию основного неравенства и условия его применимости («положительные, постоянные, равные»), решать простейшие задачи на нахождение максимума или минимума.
• Уметь использовать блок-схему решения квадратных неравенств, понимать связь между графиком квадратичной функции, корнями уравнения и множеством решений неравенства, решать сложные практические задачи.

🔹 Урок 3: Понятие функции, её свойства и базовые модели

Обзор: Этот раздел охватывает фундаментальные основы функций в школьной математике, переопределяя функцию с точки зрения теории множеств, рассматривая три способа её представления: аналитический, графический и табличный. Глубоко изучаются основные свойства функций — монотонность, чётность/нечётность, наибольшее и наименьшее значение, а также вводятся модель степенной функции и специальная модель y=x+1/x. На примерах расчёта подоходного налога демонстрируется применение кусочных функций для решения сложных реальных задач, одновременно прослеживается эволюция понятия функции от геометрических величин до соответствий между множествами.

Результаты обучения:

• Уметь описывать функцию с помощью языка множеств и соответствий, знать критерий тождественности двух функций (совпадение области определения и правила соответствия).
• Свободно применять три способа представления зависимости между переменными, особенно уметь составлять аналитическое выражение и строить график кусочной функции.
• Уметь строго доказывать монотонность и чётность/нечётность функций по определению, находить наибольшее и наименьшее значения на заданном интервале.

🔹 Урок 4: Глубокий анализ показательных и логарифмических функций

Обзор: Данный учебный модуль охватывает полную теоретическую систему: от радикалов, дробных степеней до показательных и логарифмических функций. Особое внимание уделяется внутренней связи между показательной и логарифмической операциями как взаимно обратными, а также демонстрируется ключевое применение этих функций для решения реальных научных задач и численных расчётов — например, модель радиоактивного распада и метод деления пополам для нахождения корней.

Результаты обучения:

• Понимать понятия корня степени n и дробной степени, владеть правилами операций с ними.
• Свободно использовать понятия, графические характеристики и монотонность показательных и логарифмических функций.
• Уметь применять формулу замены основания логарифма для сложных логарифмических вычислений и упрощений.

🔹 Урок 5: Математическое моделирование: построение функциональных моделей

Обзор: В этом уроке акцент делается на том, как превратить реальную задачу в математическую функциональную модель. После сбора, обработки и анализа данных с помощью методов аппроксимации выбирается наиболее подходящая функциональная модель (линейная, квадратичная, степенная, показательная или логарифмическая) для решения задач оптимизации и прогнозирования в повседневной жизни. Ключевым является понимание цикла «реальная задача — математическая модель — математический результат — реальный вывод».

Результаты обучения:

• Уметь распознавать и описывать основные этапы построения функциональной модели для решения реальных задач (анализ условия, построение модели, решение, проверка).
• Уметь использовать диаграммы рассеяния для анализа тенденций распределения данных и проводить первоначальную аппроксимацию по этим тенденциям.
• Понимать особенности различных типов роста функций, уметь выбирать оптимальную модель функции в зависимости от контекста задачи и характера данных.

🔹 Урок 6: Тригонометрические функции и их тождественные преобразования

Обзор: Этот модуль охватывает полную логическую систему, начиная с понятия произвольного угла, определения тригонометрических функций через единичную окружность, далее исследуются алгебраические свойства (тождественные преобразования) и аналитические свойства (графики и характеристики). Основное внимание уделяется освоению метода «пяти точек» для понимания закономерностей преобразования графиков функции y=A\sin(\omega x+\phi), а также применению тригонометрических моделей для решения практических периодических явлений — приливы, карусели, волновые процессы. В завершение рассматривается расширение возможностей тригонометрических функций с помощью формулы Тейлора для численной аппроксимации.

Результаты обучения:

• Уметь работать с понятиями произвольного угла, углов с одинаковой конечной стороной и определением через единичную окружность, свободно использовать соотношения между углами, формулы приведения, формулы сложения и двойного угла для тригонометрических тождественных преобразований.
• Уметь с помощью метода «пяти точек» строить графики синуса, косинуса и тангенса, анализировать и извлекать информацию о периодичности, чётности/нечётности, монотонности и экстремумах функции.
• Уметь создавать тригонометрические модели для решения реальных задач, связанных с периодическими явлениями, и понимать основную идею применения формулы Тейлора для приближённого вычисления тригонометрических функций.