【인민교육사】고등학교 수학 필수 제1권 (A판)

📚 콘텐츠 요약

이 교과서는 고등학교 수학의 입문 교재로, 집합과 자주 사용되는 논리 표현, 이차함수, 방정식 및 부등식, 함수의 개념과 성질, 지수함수와 로그함수, 삼각함수 등 핵심 내용을 다룹니다. 학생들의 수학 핵심 역량, 논리적 추론 능력, 그리고 수학 모델링 인식을 기르는 것을 목표로 합니다.

고등학교 수학의 문을 여는 시작, 핵심 개념과 엄격한 논리적 사고를 익히세요.

저자: 인민교육출판사 과정교재연구소 중등수학과정교재연구개발센터

감사의 말: 본 교과서는 제1회 전국 교재 건설상 전국 우수 교재 특별상 수상 작품입니다. 《일반 고등학교 수학 과정 표준(2017년판)》에 따라 편찬되었습니다.

🎯 학습 목표

1. 집합의 결정성, 상이성, 순서 없음을 정확히 판단하고, 나열법과 묘사법으로 집합을 유창하게 표현할 수 있어야 합니다.
2. 벤 다이어그램의 활용법과 집합 원소 개수 계산 공식 $ \text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) $을 숙지해야 합니다.
3. 충분 조건, 필요 조건, 충만 조건을 이해하고 구분할 수 있으며, 기하 도형의 성질과 판정 정리를 설명하는 데 논리적 표현을 활용할 수 있어야 합니다.
4. 실수 비교의 기본 사실을 이해하고, 부등식의 성질을 활용해 대수적 증명 및 크기 비교를 할 수 있어야 합니다.
5. 기본 부등식의 기하적 배경과 적용 조건(일단, 정해진, 같아야 함)을 이해하며, 간단한 최대·최소 문제를 해결할 수 있어야 합니다.
6. 일차 이차 부등식의 해법 프레임워크를 습득하고, 이차함수 그래프, 방정식의 근, 부등식의 해집합 간의 대응 관계를 이해하여 복잡한 실제 문제를 해결할 수 있어야 합니다.
7. 집합과 대응의 언어로 함수를 묘사할 수 있으며, '동일한 함수'를 판단하는 기준(정의역과 대응관계가 일치)을 알고 있어야 합니다.
8. 변수 간 관계를 세 가지 표현 방식으로 유창하게 설명할 수 있으며, 특히 단편함수의 해석식 작성과 그래프 그리기에 능숙해야 합니다.
9. 정의를 바탕으로 함수의 단조성과 홀짝성을 엄밀하게 증명하고, 주어진 구간에서 최댓값과 최솟값을 구할 수 있어야 합니다.
10. n제곱근과 분수 지수의 개념을 이해하고, 그 연산 성질을 숙지해야 합니다.

🔹 수업 1: 집합 논리와 수학 기초

개요: 본 모듈은 고등학교 수학의 기초 도구인 집합론과 일반적인 논리 표현을 다룹니다. 먼저 집합의 기본 개념, 원소의 특성, 여러 표현 방법(나열법과 묘사법)을 소개하고, 벤 다이어그램을 활용하여 집합 원소 개수 계산 문제를 해결합니다. 이후 명제 논리에 대해 심화 탐구하며, 충분 조건, 필요 조건, 충만 조건의 정의를 중심적으로 분석하고, 평행사변형의 판정과 같은 기하 명제의 추론과 탐구에 이를 적용합니다.

학습 결과:

• 집합의 결정성, 상이성, 순서 없음을 정확히 판단하고, 나열법과 묘사법으로 집합을 유창하게 표현할 수 있어야 합니다.
• 벤 다이어그램의 활용법과 집합 원소 개수 계산 공식 $ \text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) $을 숙지해야 합니다.
• 충분 조건, 필요 조건, 충만 조건을 이해하고 구분할 수 있으며, 기하 도형의 성질과 판정 정리를 설명하는 데 논리적 표현을 활용할 수 있어야 합니다.

🔹 수업 2: 부등식 성질과 일차 이차 방정식의 해법

개요: 본 단원은 고등학교 수학에서 "부등식" 관계의 핵심 논리와 연산 방법을 다룹니다. 실수 크기 비교의 기본 사실부터 시작해, 부등식의 성질과 그 증명을 체계적으로 정리하고, 중요한 "기본 부등식"(산술 평균과 기하 평균)을 도입하며, 결국 일차 이차 부등식의 표준화된 해법과 현실 생활 속 모델링 응용에까지 이릅니다. 함수, 방정식, 부등식의 "삼위일체" 시각을 통해 학생들이 완전한 이차 모델 인식 체계를 구축하도록 돕습니다.

학습 결과:

• 실수 비교의 기본 사실을 이해하고, 부등식 성질을 활용해 대수적 증명 및 크기 비교를 할 수 있어야 합니다.
• 기본 부등식의 기하적 배경과 적용 조건(일단, 정해진, 같아야 함)을 이해하며, 간단한 최대·최소 문제를 해결할 수 있어야 합니다.
• 일차 이차 부등식의 해법 프레임워크를 숙지하고, 이차함수 그래프, 방정식의 근, 부등식의 해집합 간의 대응 관계를 이해하여 복잡한 실제 문제를 해결할 수 있어야 합니다.

🔹 수업 3: 함수 개념, 성질 및 기본 모델

개요: 본 단원은 고등학교 수학에서 함수의 핵심 기초를 다룹니다. 집합론 관점에서 함수를 다시 정의하고, 해석식, 그래프, 표를 이용한 세 가지 표현 방식을 탐구합니다. 함수의 단조성, 홀짝성, 최대(최소)값 등의 기본 성질을 깊이 있게 연구하며, 멱함수 모델과 특별한 y=x+1/x 모델을 도입합니다. 개인 소득세 계산과 같은 실제 사례를 통해 단편함수와 복잡한 현실 문제 해결에의 응용을 보여주며, 함수 개념이 기하적 양에서 대응 관계로 진화한 역사적 맥락도 되새깁니다.

학습 결과:

• 집합과 대응의 언어로 함수를 묘사할 수 있으며, '동일한 함수'를 판단하는 기준(정의역과 대응관계가 일치)을 알고 있어야 합니다.
• 세 가지 표현 방식을 유창하게 활용해 변수 간 관계를 설명할 수 있으며, 특히 단편함수의 해석식 작성과 그래프 그리기에 능숙해야 합니다.
• 정의를 바탕으로 함수의 단조성과 홀짝성을 엄밀하게 증명하고, 주어진 구간에서 최댓값과 최솟값을 구할 수 있어야 합니다.

🔹 수업 4: 지수와 로그 함수의 심층 분석

개요: 본 교육 설계는 근식, 분수 지수, 지수함수, 로그함수에 이르는 완전한 이론 체계를 다룹니다. 지수와 로그가 서로 역연산이라는 내적 연결성을 중심적으로 분석하며, 방사능 물질의 붕괴 모델과 이분법으로 근을 찾는 방법을 통해 함수가 실제 과학 문제 해결과 수치 계산에서 핵심적으로 어떻게 활용되는지를 보여줍니다.

학습 결과:

• n제곱근과 분수 지수의 개념을 이해하고, 그 연산 성질을 숙지해야 합니다.
• 지수함수와 로그함수의 개념, 그래프 특징, 단조성을 유창하게 숙지해야 합니다.
• 로그의 밑을 바꾸는 공식을 활용해 복잡한 로그 계산과 식의 단순화를 수행할 수 있어야 합니다.

🔹 수업 5: 수학 모델링: 함수 모델의 구성

개요: 본 수업은 실제 문제를 수학적 함수 모델로 전환하는 방법에 초점을 맞춥니다. 데이터 수집, 정리, 분석을 통해 데이터 피팅 기술을 활용하여 가장 적절한 함수 모델(일차함수, 이차함수, 멱함수, 지수함수, 로그함수 등)을 선택하여 현실 세계의 최적화 및 예측 문제를 해결합니다. 핵심은 "실제 문제—수학 모델—수학적 결과—실제 결론"이라는 모델링 반복 과정을 이해하는 것입니다.

학습 결과:

• 함수 모델을 통해 실제 문제를 해결하는 기본 단계(문제 이해, 모델링, 해법, 검증)를 인식하고 설명할 수 있어야 합니다.
• 산점도를 통해 데이터 분포 경향을 관찰하고, 경향에 따라 초기 데이터 피팅을 수행할 수 있어야 합니다.
• 다양한 증가 유형의 함수 특성을 이해하고, 실제 문제의 맥락과 데이터 경향에 따라 최적의 함수 모델을 선택할 수 있어야 합니다.

🔹 수업 6: 삼각함수 및 항등식 변환의 응용

개요: 본 단원은 임의각의 개념에서 출발하여 단위원을 이용해 삼각함수를 정의하고, 이를 바탕으로 그 대수적 성질(항등식 변환)과 해석적 성질(그래프와 성질)을 종합적으로 탐구합니다. 중심은 "다섯 점 법"을 통해 함수 y=A\sin(\omega x+\phi)의 그래프 변환 규칙을 숙지하고, 삼각 모델을 활용해 조류, 관광용 높이 차, 파형 등의 실제 주기적 현상을 해결하는 것입니다. 마지막으로 테일러 공식을 통해 삼각함수의 수치 근사 계산을 확장합니다.

학습 결과:

• 임의각, 동일한 끝선 각, 단위원 정의를 이해하고, 동각관계, 삼각함수의 치환 공식, 합차 공식, 이중각 공식을 활용해 삼각함수의 항등식 변환을 유창하게 수행할 수 있어야 합니다.
• "다섯 점 법"을 활용해 사인, 코사인, 탄젠트 곡선을 그릴 수 있으며, 함수의 주기성, 홀짝성, 단조성, 최대·최소값을 분석하고 추출할 수 있어야 합니다.
• 삼각함수 모델을 활용해 현실 세계의 주기적 문제를 해결할 수 있으며, 테일러 공식이 삼각함수 근사 계산에서 갖는 기본적인 사고 방식을 이해해야 합니다.