【Учебник по программе Народного образования】Математика, 9 класс, нижняя часть

📚 Краткое содержание

Этот учебник по математике является последним в курсе основной школы и включает четыре ключевых модуля: обратная пропорциональность, подобие, тригонометрия острых углов, проекции и виды. Курс делает акцент на понимании математических концепций через наблюдение, исследование и логическое рассуждение, а также на применении математических моделей для описания закономерностей, измерения и пространственного мышления в повседневной жизни.

Исследуйте тайны функций и геометрическую логику — завершите формирование ключевых математических компетенций основной школы.

Автор: Лин Цюнь

Благодарности: Учебник подготовлен при участии заместителей главного редактора Тянь Цзайцзина, Сэ Хуэй и Ли Хайдонга, главным редактором выступил Чжан Цзянььюэ, издательство — «Педагогическое издательство Народного образования».

🎯 Цели обучения

1. Понимание понятий и аналитических выражений: уметь распознавать обратно пропорциональные функции, знать три формы записи y = \frac{k}{x}, y = kx^{-1} и xy = k, а также четко осознавать ограничения k \neq 0 и x \neq 0.
2. Владение графиками и свойствами: уметь точно описывать расположение графика обратно пропорциональной функции по четвертям и характер изменения (возрастание/убывание), понимать симметрию гиперболы.
3. Применение метода неопределённых коэффициентов: уметь находить аналитическое выражение обратно пропорциональной функции по координатам заданной точки или информации о графике.
4. Понимание и определение: уметь чётко формулировать определение подобных фигур, находить центр подобия по соединительным линиям соответствующих точек, вычислять коэффициент подобия по отношению длин сторон.
5. Координатные операции: знать закономерности изменения координат соответствующих точек при увеличении/уменьшении фигуры относительно начала координат (в k или -k раз), уметь выполнять масштабирование фигур в координатной плоскости.
6. Комплексное применение: уметь свободно использовать свойства подобных многоугольников (соответственные углы равны, стороны пропорциональны) и признаки подобия треугольников для решения задач на измерение высоты, вычисление площадей и сложные геометрические доказательства.
7. Знание определений и специальных значений: точно понимать и запомнить определения синуса, косинуса, тангенса, уверенно применять значения тригонометрических функций для углов 30°, 45°, 60°.
8. Навыки решения задач: уметь свободно использовать научный калькулятор для вычислений, применять теорему Пифагора и тригонометрические соотношения для решения прямоугольных треугольников.
9. Практические навыки применения: уметь распознавать и использовать такие понятия, как угол подъёма, угол наклона, уклон, азимут, решая практические задачи на измерение высоты, морское навигационное обход препятствий и инженерные задачи по откосам.
10. Понимать определения проекций, параллельных проекций, центральных проекций и перпендикулярных проекций, знать свойства точек, линий и плоскостей в перпендикулярной проекции.

🔹 Урок 1: Свойства и комплексное применение обратно пропорциональной функции

Обзор: Этот урок направлен на то, чтобы помочь учащимся абстрагироваться от реальных проблем (например, зависимости скорости, давления, площади) и создать математическую модель обратно пропорциональной функции, глубоко изучить особенности аналитического выражения y = \frac{k}{x} (k \neq 0), форму графика (гипербола) и его поведение при изменении коэффициента k. Через метод неопределённых коэффициентов и идею сочетания алгебры и геометрии учащиеся научатся определять аналитическое выражение и анализировать совместное поведение графиков обратно пропорциональной и линейной функций в одной системе координат.

Результаты обучения:

• Понимание понятий и аналитических выражений: уметь распознавать обратно пропорциональную функцию, знать три формы записи y = \frac{k}{x}, y = kx^{-1} и xy = k, чётко понимать ограничения k \neq 0 и x \neq 0.
• Владение графиками и свойствами: уметь точно описывать расположение графика по четвертям и характер изменения, понимать симметрию гиперболы.
• Применение метода неопределённых коэффициентов: уметь находить аналитическое выражение обратно пропорциональной функции по координатам точки или данным графика.

🔹 Урок 2: Практика определения подобия фигур и преобразований подобия

Обзор: Основное внимание этого урока уделяется преобразованиям подобия и комплексному применению подобных фигур. Учащиеся узнают, как определять центр подобия и коэффициент подобия, освоят правила координатных вычислений при преобразованиях подобия в прямоугольной системе координат, а также глубже поймут различия и сходства между четырьмя типами преобразований: сдвиг, поворот, отражение и подобие. На примерах из «Математических расчетов с островами» и других практических задач будет развиваться способность решать реальные задачи измерения высоты, навигации и промышленной обработки с помощью признаков подобия треугольников.

Результаты обучения:

• Понимание и определение: уметь чётко формулировать определение подобных фигур, находить центр подобия по линиям, соединяющим соответствующие точки, вычислять коэффициент подобия по отношению длин сторон.
• Координатные операции: знать закономерности изменения координат соответствующих точек при подобии относительно начала координат (в k или -k раз), уметь выполнять увеличение и уменьшение фигур в координатной плоскости.
• Комплексное применение: уметь свободно использовать свойства подобных многоугольников (соответственные углы равны, стороны пропорциональны) и признаки подобия треугольников для решения задач на измерение высоты, вычисление площадей и сложные геометрические доказательства.

🔹 Урок 3: Острый тригонометрический функции и применение в измерении прямоугольных треугольников

Обзор: Данный урок охватывает ключевые темы курса математики девятого класса: определение тригонометрических функций острых углов и их широкое применение при решении прямоугольных треугольников. От абстрактного определения отношения до запоминания значений для специальных углов, затем до использования калькулятора для работы с трудными числами — всё это завершается применением математических моделей в реальных сферах: мореплавании, строительстве, гидротехнике и полевых измерениях. Основной акцент сделан на способности учащихся переводить реальные проблемы в математическую модель прямоугольного треугольника.

Результаты обучения:

• Знание определений и специальных значений: точно понимать и запомнить определения синуса, косинуса, тангенса, уверенно применять значения тригонометрических функций для углов 30°, 45°, 60°.
• Навыки решения задач: уметь свободно использовать научный калькулятор для вычислений, применять теорему Пифагора и тригонометрические соотношения для решения прямоугольных треугольников.
• Практические навыки применения: уметь распознавать и использовать такие понятия, как угол подъёма, угол наклона, уклон, азимут, решая задачи на измерение высоты, морской навигации, обходу препятствий и инженерным задачам по откосам.

🔹 Урок 4: Правила проекций, восстановление трёх видов и моделирование объёмных фигур

Обзор: В этом курсе системно рассматриваются основы теории проекций, с акцентом на свойства перпендикулярных проекций и их центральное значение в системе «трёх видов». Учащиеся научатся строить и распознавать три вида по правилу «длина выравнивается, высота выравнивается, ширина равна», а также восстанавливать объёмную фигуру по трём видам для выполнения инженерных расчётов площади поверхности и объёма. В заключение, в рамках проектного обучения, плоские фигуры будут преобразованы в трёхмерные модели, что позволит сделать переход от теории к практике.

Результаты обучения:

• Понимание проекций, параллельных проекций, центральных проекций и перпендикулярных проекций, знание свойств точек, линий и плоскостей в перпендикулярной проекции.
• Умение понимать принципы формирования трёх видов (главный, боковой, сверху), их расположение и взаимосвязь проекций (длина выравнивается, высота выравнивается, ширина равна).
• Умение восстанавливать объёмную фигуру по трём видам, выполнять расчёты площади поверхности и объёма сложных геометрических тел (например, палатки, герметичных банок) с использованием развёрток.