【Édition du ministère de l'Éducation】Mathématiques du collège, 3e année, semestre 2

📚 Résumé du contenu

Ce manuel de mathématiques est le dernier du cycle secondaire, couvrant principalement quatre modules fondamentaux : les fonctions d'inversion, la similitude, les fonctions trigonométriques des angles aigus, et la projection ainsi que les vues. Le cours met l'accent sur la compréhension des concepts mathématiques par observation, exploration et raisonnement logique, et sur l'utilisation de modèles mathématiques pour résoudre des problèmes liés à la description de régularités, aux calculs de mesure et à la perception spatiale dans la vie quotidienne.

Explorez les mystères des fonctions et la logique géométrique, clôturez en beauté les compétences essentielles en mathématiques au collège.

Auteur : Lin Qun

Remerciements : Ce manuel a été coordonné par Tian Zaijin, Xue Bin et Li Haidong comme co-rédacteurs, avec Zhang Jianyue comme rédacteur en chef de ce volume, et publié par l'Édition de l'Enseignement Populaire.

🎯 Objectifs d'apprentissage

1. Comprendre les concepts et les formes d'expression : reconnaître une fonction inverse, maîtriser les trois formes y = \frac{k}{x}, y = kx^{-1} et xy = k, et identifier les contraintes k \neq 0 et x \neq 0.
2. Maîtriser les graphiques et les propriétés : décrire précisément la répartition des branches du graphe dans les quadrants, la monotonie, et comprendre la symétrie de la courbe hyperbolique.
3. Appliquer la méthode des coefficients indéterminés : déterminer l'expression d'une fonction inverse à partir des coordonnées d'un point ou d'informations graphiques.
4. Comprendre et reconnaître : définir correctement les figures semblables, déterminer le centre de similitude à partir des segments reliant les points correspondants, et calculer le rapport de similitude à partir des rapports de longueur.
5. Opérations sur les coordonnées : connaître la règle de variation des coordonnées des points correspondants lorsqu'on utilise l'origine comme centre de similitude (multiplication par k ou -k), et appliquer cette règle pour agrandir ou réduire des figures dans un repère.
6. Application combinée : utiliser habilement les propriétés des polygones semblables (angles correspondants égaux, côtés proportionnels) et les critères de similarité des triangles pour résoudre des problèmes de mesure de hauteur, de calcul d’aire et de preuves géométriques complexes.
7. Maîtriser les définitions et valeurs spécifiques : comprendre exactement et mémoriser les définitions du sinus, cosinus et tangente, et maîtriser les valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles de 30°, 45° et 60°.
8. Posséder des compétences en résolution de problèmes : utiliser efficacement une calculatrice scientifique pour obtenir des valeurs, et appliquer le théorème de Pythagore ainsi que les relations trigonométriques pour résoudre des triangles rectangles.
9. Compétence d'application pratique : identifier et appliquer les concepts d'angle d'élévation, angle de dépression, pente et azimut pour résoudre des problèmes concrets tels que la mesure d'hauteur, l'évitement de récifs en navigation ou le tracé des pentes en génie civil.
10. Comprendre les définitions de projection, projection parallèle, projection centrale et projection orthogonale, et maîtriser les propriétés des points, droites et plans sous projection orthogonale.

🔹 Leçon 1 : Propriétés des fonctions inverses et exercices d'application combinée

Aperçu : Cette séance vise à guider les élèves à extraire un modèle mathématique de fonction inverse à partir de problèmes concrets (relations entre vitesse, pression, aire, etc.), à explorer en profondeur les caractéristiques de l'expression y = \frac{k}{x} (k \neq 0), la forme du graphe (hyperbole) et ses propriétés en fonction du coefficient k. Grâce à la méthode des coefficients indéterminés et à l'approche « numérique et graphique », les élèves apprendront à déterminer l'expression et à analyser les relations graphiques combinées entre une fonction inverse et une fonction linéaire dans un même repère.

Résultats attendus :

• Comprendre les concepts et les expressions : reconnaître une fonction inverse, maîtriser les trois formes y = \frac{k}{x}, y = kx^{-1} et xy = k, et identifier les contraintes k \neq 0 et x \neq 0.
• Maîtriser les graphiques et les propriétés : décrire précisément la répartition des branches du graphe dans les quadrants et sa monotonie, comprendre la symétrie de l'hyperbole.
• Appliquer la méthode des coefficients indéterminés : déterminer l'expression d'une fonction inverse à partir des coordonnées d’un point ou d’informations graphiques.

🔹 Leçon 2 : Détermination de la similitude et pratique des transformations de similitude

Aperçu : Cette leçon porte principalement sur les transformations de similitude des figures et les applications combinées des figures semblables. Les élèves apprendront à définir et à déterminer le centre de similitude et le rapport de similitude, à maîtriser les règles de calcul des coordonnées lors des transformations de similitude dans un repère cartésien, et à approfondir la compréhension des différences et similitudes entre les transformations de translation, rotation, symétrie axiale et similitude. À travers des cas concrets comme le Hai Dao Suan Jing, ils renforceront leur capacité à appliquer les théorèmes de reconnaissance des triangles semblables afin de résoudre des problèmes pratiques en mesures de hauteur, navigation et usinage industriel.

Résultats attendus :

• Comprendre et reconnaître : définir correctement les figures semblables, déterminer le centre de similitude en reliant les points correspondants, et calculer le rapport de similitude à partir des rapports de longueur.
• Opérations sur les coordonnées : connaître la règle de variation des coordonnées des points correspondants lorsque l'origine est le centre de similitude (multiplication par k ou -k), et appliquer cette règle pour agrandir ou réduire des figures dans un repère.
• Application combinée : utiliser habilement les propriétés des polygones semblables (angles correspondants égaux, côtés proportionnels) et les critères de similitude des triangles pour résoudre des problèmes de mesure de hauteur, de calcul d’aire et de preuves géométriques complexes.

🔹 Leçon 3 : Fonctions trigonométriques des angles aigus et application à la mesure des triangles rectangles

Aperçu : Ce plan de cours couvre le cœur du programme mathématique de troisième année du collège : les définitions des fonctions trigonométriques des angles aigus et leur application extensive à la résolution des triangles rectangles. En passant des définitions abstraites basées sur des rapports aux valeurs spécifiques à mémoriser, puis à l’utilisation de la calculatrice pour traiter des valeurs complexes, le cours finit par appliquer ces modèles mathématiques à des scénarios concrets tels que la navigation, la construction, l’hydraulique et les mesures terrain. L’objectif principal est de former les élèves à transformer des problèmes réels en modèles mathématiques de triangles rectangles.

Résultats attendus :

• Maîtriser les définitions et les valeurs spécifiques : comprendre exactement et mémoriser les définitions du sinus, cosinus et tangente, et maîtriser les valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles de 30°, 45° et 60°.
• Posséder des compétences en résolution de problèmes : utiliser efficacement une calculatrice scientifique pour obtenir des valeurs, et appliquer le théorème de Pythagore ainsi que les relations trigonométriques pour résoudre des triangles rectangles.
• Compétence d'application pratique : identifier et appliquer les concepts d'angle d'élévation, angle de dépression, pente et azimut pour résoudre des problèmes concrets tels que la mesure d'hauteur, l'évitement de récifs en navigation ou le tracé des pentes en génie civil.

🔹 Leçon 4 : Règles de projection, reconstruction des vues et modélisation 3D

Aperçu : Ce cours présente de manière systématique les bases théoriques de la projection, en insistant particulièrement sur les propriétés de la projection orthogonale et son application centrale dans le système des « trois vues ». Les élèves apprendront à suivre les règles « longueur alignée, hauteur à niveau, largeur égale » pour dessiner et interpréter les trois vues, et à reconstruire un solide à partir de ses vues afin de calculer son aire et son volume. Enfin, grâce à un travail de projet, ils passeront du plan au modèle 3D, franchissant ainsi la barrière entre théorie et pratique.

Résultats attendus :

• Comprendre les définitions de projection, projection parallèle, projection centrale et projection orthogonale, et maîtriser les propriétés des points, droites et plans sous projection orthogonale.
• Maîtriser les principes de formation, l'agencement et les relations de projection des trois vues (vue principale, vue latérale gauche, vue de dessus), selon les règles « longueur alignée, hauteur à niveau, largeur égale ».
• Pouvoir reconstruire un solide à partir de ses trois vues, et effectuer des calculs d’aire et de volume pour des solides complexes (tentes, boîtes étanches) à l’aide de patrons développés.