【УМК «Чжэнь»】Математика, 8 класс, 1 семестр (основная школа)

📚 Краткое содержание

Этот учебник предназначен для учащихся 8-го класса основной школы. В него входят свойства треугольников, признаки и свойства равных треугольников, осевая симметрия, операции умножения многочленов и разложение на множители, а также основные операции с дробями и решение уравнений. Цель — развивать геометрическое логическое мышление и навыки алгебраических вычислений.

Исследуйте красоту геометрических доказательств, освойте суть алгебраических преобразований.

Автор: Лин Цунь

Благодарности: Утверждено Министерством образования 2013 года, вторая премия за лучший учебник на всероссийской премии по созданию учебников, первая очередь

🎯 Цели обучения

1. Определение и построение: Уметь точно определять и строить высоты, медианы и биссектрисы треугольника, понимать концепцию центра тяжести.
2. Анализ принципов: Понимать стабильность треугольников и нестабильность четырёхугольников, объяснять их применение в реальной жизни.
3. Вычисления и рассуждения: Уверенно использовать теорему о сумме углов треугольника и свойства внешних углов для вычисления углов; знать формулы суммы внутренних и внешних углов многоугольников и решать практические задачи с многоугольниками.
4. Освоение понятий и свойств: Точно определять соответствующие вершины, стороны и углы равных треугольников, использовать «соответствующие стороны равны, соответствующие углы равны» для вычислений и доказательств.
5. Освоение признаков равенства: Уверенно применять признаки равенства по трём сторонам (SSS) и по двум сторонам и углу между ними (SAS), уметь правильно оформлять доказательства.
6. Понимание логических ограничений: Через исследование понять, что признак SSA (две стороны и угол, не лежащий между ними) не может использоваться для установления равенства, развивать строгое геометрическое мышление.
7. Освоение понятия осевой симметрии: Уметь распознавать фигуры с осевой симметрией, точно строить симметричную фигуру относительно заданной прямой.
8. Глубокое изучение равнобедренных и равносторонних треугольников: Уверенно использовать свойства «против равных сторон — равные углы» и «три совпадающие линии», а также применять признак «против равных углов — равные стороны» для определения равнобедренного треугольника.
9. Вычисления и доказательства: Использовать теорему о свойстве угла в 30° в прямоугольном треугольнике для вычисления длин, понимать неравенство «большая сторона — больший угол» в треугольнике.
10. Уверенно применять правила умножения степеней с одинаковым основанием, возведения степени в степень и умножения произведения в степень для точных вычислений.

🔹 Урок 1: Основные свойства треугольников и исследование многоугольников

Обзор: Этот учебный план охватывает ключевые темы главы 11 курса математики для основной школы. Начиная с основных отрезков треугольника (высот, медиан, биссектрис) и их стабильности, глубоко исследуются свойства суммы внутренних углов и внешних углов треугольника, а затем расширяется до формул суммы внутренних углов, свойств суммы внешних углов многоугольников и возможности плоской укладки правильных многоугольников.

Результаты обучения:

• Определение и построение: Уметь точно определять и строить высоты, медианы и биссектрисы треугольника, понимать концепцию центра тяжести.
• Анализ принципов: Понимать стабильность треугольников и нестабильность четырёхугольников, объяснять их применение в реальной жизни.
• Вычисления и рассуждения: Уверенно использовать теорему о сумме углов треугольника и свойства внешних углов для вычисления углов; знать формулы суммы внутренних и внешних углов многоугольников и решать практические задачи с многоугольниками.

🔹 Урок 2: Признаки равенства и применение равных треугольников

Обзор: Этот курс помогает ученикам 8-го класса освоить основные понятия, свойства и начальные признаки равенства треугольников (SSS и SAS). Наблюдая за геометрическими преобразованиями — параллельным переносом, отражением, поворотом — учащиеся научатся распознавать соответствующие элементы и использовать свойства равных треугольников для решения задач на вычисление длин отрезков и величин углов. Также рассматривается вывод и применение теорем об равенстве по трем сторонам (SSS) и по двум сторонам и углу между ними (SAS).

Результаты обучения:

• Освоение понятий и свойств: Точно определять соответствующие вершины, стороны и углы равных треугольников, использовать «соответствующие стороны равны, соответствующие углы равны» для вычислений и доказательств.
• Освоение признаков равенства: Уверенно применять признаки равенства по трём сторонам (SSS) и по двум сторонам и углу между ними (SAS), уметь правильно оформлять доказательства.
• Понимание логических ограничений: Через исследование понять, что признак SSA (две стороны и угол, не лежащий между ними) не может использоваться для установления равенства, развивать строгое геометрическое мышление.

🔹 Урок 3: Осевая симметрия и особенности равнобедренных треугольников

Обзор: Этот урок охватывает основную теорию осевой симметрии и её глубокое применение к равнобедренным треугольникам. Исходя из симметрии фигур, учащиеся постепенно освоят теоремы о свойствах равнобедренных и равносторонних треугольников, методы их определения, а также расширят знания до специфических свойств прямоугольного треугольника с углом 30° и неравенств сторон и углов в треугольнике.

Результаты обучения:

• Освоение понятия осевой симметрии: Уметь распознавать фигуры с осевой симметрией, точно строить симметричную фигуру относительно заданной прямой.
• Глубокое изучение равнобедренных и равносторонних треугольников: Уверенно использовать свойства «против равных сторон — равные углы» и «три совпадающие линии», а также применять признак «против равных углов — равные стороны» для определения равнобедренного треугольника.
• Вычисления и доказательства: Использовать теорему о свойстве угла в 30° в прямоугольном треугольнике для вычисления длин, понимать неравенство «большая сторона — больший угол» в треугольнике.

🔹 Урок 4: Операции с многочленами и техники разложения на множители

Обзор: Этот учебный план охватывает полную систему знаний от свойств степеней до формул умножения многочленов и обратной операции — разложения на множители. Учащиеся освоят основные правила действий со степенями с одинаковым основанием, возведением степени в степень и умножением произведения в степень, затем научатся быстро умножать многочлены с помощью формул разности квадратов и полного квадрата, и, наконец, освоят ключевые техники разложения многочленов на множители.

Результаты обучения:

• Уверенно применять правила умножения степеней с одинаковым основанием, возведения степени в степень и умножения произведения в степень для точных вычислений.
• Способны гибко использовать формулы разности квадратов и полного квадрата для умножения многочленов и упрощения вычислений.
• Осваивают основные понятия разложения на множители и могут уверенно применять метод вынесения общего множителя и методы по формулам (разность квадратов, полный квадрат) для полного разложения многочлена.

🔹 Урок 5: Система операций с дробями и решение дробных уравнений

Обзор: Этот урок охватывает основную систему знаний по дробям в курсе математики основной школы, начиная с базовых понятий дроби и условий существования, углубляясь в техники тождественных преобразований — сокращение и приведение к общему знаменателю. На этом фундаменте учащиеся освоят правила операций с дробями, научатся представлять малые положительные числа с помощью научной записи, и в конечном итоге достигнут умения решать дробные уравнения.

Результаты обучения:

• Понимают концепцию дроби, знают условия её существования, умеют сокращать, приводить к общему знаменателю и упрощать дроби до простейшей формы.
• Уверенно выполняют операции умножения, деления, возведения в степень и сложения/вычитания дробей, способны представлять положительные числа меньше единицы с помощью научной записи.
• Осваивают основную идею решения дробных уравнений (идею преобразования), умеют устранять знаменатели, решать уравнения и проверять корни.