【Édition du ministère de l'Éducation】Mathématiques du collège, 3e année, Semestre 1

📚 Résumé du contenu

Ce manuel scolaire est destiné aux élèves du collège, niveau troisième année du secondaire (première année de collège). Il couvre les propriétés des triangles, la détermination et les propriétés des triangles superposables, les figures symétriques par rapport à un axe, les opérations sur les polynômes (multiplication et factorisation), ainsi que les opérations de base sur les fractions et les équations fractionnaires. Son objectif est de développer chez les élèves leurs capacités de raisonnement géométrique et leurs compétences en calcul algébrique.

Explorez la beauté des preuves géométriques, maîtrisez l'essence des opérations algébriques.

Auteur : Lin Qun

Remerciements : Approuvé par le ministère de l'Éducation en 2013, deuxième prix national du premier prix national du développement des manuels scolaires pour les manuels scolaires excellents

🎯 Objectifs d'apprentissage

1. Identification et construction : Pouvoir identifier précisément et tracer les hauteurs, médianes et bissectrices d’un triangle, et comprendre le concept de centre de gravité.
2. Analyse des principes : Comprendre la stabilité des triangles et l’instabilité des quadrilatères, et expliquer leur application dans la vie réelle.
3. Calcul et raisonnement : Maîtriser l’utilisation du théorème de la somme des angles intérieurs d’un triangle et des propriétés des angles extérieurs pour effectuer des calculs d’angles ; connaître les formules de la somme des angles intérieurs et extérieurs des polygones, et résoudre des problèmes concrets liés aux polygones.
4. Maîtrise des concepts et propriétés : Identifier correctement les sommets correspondants, les côtés correspondants et les angles correspondants des triangles superposables, et appliquer « les côtés correspondants sont égaux, les angles correspondants sont égaux » pour effectuer des calculs et des démonstrations.
5. Maîtrise des critères de reconnaissance : Savoir utiliser efficacement les critères SSS et SAS pour prouver qu’un triangle est superposable à un autre, et savoir rédiger une démonstration rigoureuse.
6. Compréhension des limites logiques : En explorant, comprendre que SSA (côté-côté-angle) ne peut pas servir de critère de superposition, afin de développer un raisonnement géométrique rigoureux.
7. Maîtrise du concept de symétrie axiale : Pouvoir reconnaître les figures symétriques par rapport à un axe, et tracer précisément l'image d’une figure donnée par symétrie par rapport à une droite donnée.
8. Approfondissement des triangles isocèles/équilatéraux : Maîtriser les propriétés « côté égal → angle égal » et « les trois lignes concourantes », et pouvoir reconnaître un triangle isocèle grâce au principe « angle égal → côté égal ».
9. Calcul et démonstration : Utiliser le théorème relatif aux triangles rectangles ayant un angle de 30° pour effectuer des calculs de longueurs, et comprendre la relation d’inégalité entre les côtés et les angles dans un triangle (le plus grand côté oppose le plus grand angle).
10. Appliquer avec précision les règles de multiplication des puissances de même base, des puissances de puissances et des puissances d’un produit.

🔹 Leçon 1 : Propriétés fondamentales des triangles et exploration des polygones

Aperçu : Ce plan de cours couvre les contenus centraux du onzième chapitre du programme de mathématiques du collège. À partir des segments fondamentaux d’un triangle (hauteurs, médianes, bissectrices) et de leur stabilité, il explore en profondeur les propriétés de la somme des angles intérieurs et des angles extérieurs d’un triangle, avant d’étendre cette étude aux formules de la somme des angles intérieurs et extérieurs des polygones, ainsi qu’à la mosaïque plane des polygones réguliers.

Objectifs d’apprentissage :

• Identification et construction : Pouvoir identifier précisément et tracer les hauteurs, médianes et bissectrices d’un triangle, et comprendre le concept de centre de gravité.
• Analyse des principes : Comprendre la stabilité des triangles et l’instabilité des quadrilatères, et expliquer leur application dans la vie réelle.
• Calcul et raisonnement : Maîtriser l’utilisation du théorème de la somme des angles intérieurs d’un triangle et des propriétés des angles extérieurs pour effectuer des calculs d’angles ; connaître les formules de la somme des angles intérieurs et extérieurs des polygones, et résoudre des problèmes concrets liés aux polygones.

🔹 Leçon 2 : Critères de reconnaissance et applications des triangles superposables

Aperçu : Ce cours vise à aider les élèves de troisième année du collège à maîtriser les concepts fondamentaux, les propriétés et les premiers critères de reconnaissance des triangles superposables (SSS et SAS). À travers l’observation des transformations géométriques telles que les translations, les réflexions et les rotations, les élèves apprendront à identifier les éléments correspondants, puis à utiliser les propriétés des triangles superposables pour résoudre des problèmes portant sur les longueurs de segments et les mesures d’angles. Le cours abordera également la déduction et l’application des théorèmes de reconnaissance « côté-côté-côté » et « côté-angle-côté ».

Objectifs d’apprentissage :

• Maîtrise des concepts et propriétés : Identifier précisément les sommets correspondants, les côtés correspondants et les angles correspondants des triangles superposables, et appliquer « les côtés correspondants sont égaux, les angles correspondants sont égaux » pour effectuer des calculs et des démonstrations.
• Maîtrise des critères de reconnaissance : Savoir utiliser efficacement les critères SSS et SAS pour prouver qu’un triangle est superposable à un autre, et savoir rédiger une démonstration rigoureuse.
• Compréhension des limites logiques : En explorant, comprendre que SSA (côté-côté-angle) ne peut pas servir de critère de superposition, afin de développer un raisonnement géométrique rigoureux.

🔹 Leçon 3 : Transformations de symétrie axiale et propriétés des triangles isocèles

Aperçu : Cette séance couvre la théorie fondamentale des transformations de symétrie axiale et son application approfondie aux triangles isocèles. Partant de la symétrie des figures, les élèves découvriront progressivement les théorèmes de propriété et les méthodes de reconnaissance des triangles isocèles et équilatéraux, avant de s’approfondir dans les propriétés spéciales des triangles rectangles ayant un angle de 30° et les inégalités entre côtés et angles dans un triangle.

Objectifs d’apprentissage :

• Maîtrise du concept de symétrie axiale : Pouvoir reconnaître les figures symétriques par rapport à un axe, et tracer précisément l’image d’une figure donnée par symétrie par rapport à une droite donnée.
• Approfondissement des triangles isocèles/équilatéraux : Maîtriser les propriétés « côté égal → angle égal » et « les trois lignes concourantes », et pouvoir reconnaître un triangle isocèle grâce au principe « angle égal → côté égal ».
• Calcul et démonstration : Utiliser le théorème relatif aux triangles rectangles ayant un angle de 30° pour effectuer des calculs de longueurs, et comprendre la relation d’inégalité entre les côtés et les angles dans un triangle (le plus grand côté oppose le plus grand angle).

🔹 Leçon 4 : Opérations sur les polynômes et techniques de factorisation

Aperçu : Ce plan de cours couvre l’ensemble du système de connaissances allant des propriétés des opérations sur les puissances jusqu’aux formules de multiplication des polynômes, en passant par l’opération inverse : la factorisation. Les élèves apprendront les règles de base de la multiplication des puissances de même base, des puissances de puissances et des puissances d’un produit, puis apprendront à utiliser les formules de différence de carrés et de carré parfait pour multiplier rapidement les polynômes, avant de maîtriser les techniques fondamentales de factorisation des polynômes.

Objectifs d’apprentissage :

• Maîtriser avec précision les règles de multiplication des puissances de même base, des puissances de puissances et des puissances d’un produit pour effectuer des calculs exacts.
• Pouvoir utiliser de manière flexible les formules de différence de carrés et de carré parfait pour multiplier des polynômes et simplifier les calculs.
• Comprendre les notions de base de la factorisation, et savoir appliquer méthodiquement la méthode du facteur commun et les formules (différence de carrés, carré parfait) pour factoriser complètement un polynôme.

🔹 Leçon 5 : Système des opérations sur les fractions et résolution des équations fractionnaires

Aperçu : Cette leçon couvre le système central des connaissances sur les fractions dans le programme de mathématiques du collège, depuis les concepts fondamentaux des fractions et leurs conditions d’existence, jusqu’à l’exploration approfondie des techniques d’équivalence telles que la simplification et la mise au même dénominateur. Sur cette base, les élèves maîtriseront les règles d’opérations sur les fractions, apprendront à représenter les petits nombres positifs à l’aide de notation scientifique, et aboutiront finalement à la résolution des équations fractionnaires.

Objectifs d’apprentissage :

• Comprendre le concept de fraction, maîtriser les conditions d’existence des fractions, et savoir effectuer des simplifications, des mises au même dénominateur et la réduction aux fractions irréductibles.
• Maîtriser les opérations mixtes sur les fractions (multiplication, division, puissance, addition et soustraction), et savoir utiliser la notation scientifique pour représenter les nombres positifs inférieurs à 1.
• Comprendre la démarche fondamentale de résolution des équations fractionnaires (principe de transformation), savoir supprimer les dénominateurs pour résoudre l’équation, et vérifier les solutions obtenues.