微積分：早期超越函數（第7版）

概述： 本課介紹函數的基本定義與表示方式，提供一套堅實的科學技術領域常用數學模型。學生將探索如何轉換既有函數、建立複合函數，並求出反函數，最後學習高階問題解決技巧，包含數學歸納法。

學習成果：

• 定義並以四種方法表示函數，並確定其定義域、值域與對稱性。
• 對基本函數（線性、多項式、三角、指數、對數）進行分類與應用，以建模現實世界現象。
• 執行垂直/水平變換與函數複合運算。

概述： 本課探討從代數過渡到微積分的根本過程，建立極限的嚴謹定義及其在連續性與微分中的應用。學生將從直觀的圖形極限理解，逐步過渡至精確的 ε-δ 定義，最終運用這些工具定義微分為函數與變化率。

學習成果：

• 利用代數法則、直接代入與夾逼定理計算極限。
• 定義連續性，並利用極限識別不連續類型。
• 應用中間值定理定位方程的根。

概述： 本課涵蓋理工科學生必需的完整微分法則，從基本多項式冪法則到複雜的超越函數。內容結合機械計算與物理、生物、經濟等現實應用，包含成長/衰減模型、相關速率與線性近似。學生將從微分簡單顯函數，進而掌握隱函數技巧與對數微分，以處理多變量與複合結構。

學習成果：

• 應用冪、乘積、商與鏈式法則，對代數、三角、指數、對數與反函數進行微分。
• 執行隱函數微分與對數微分，解決複雜結構方程式與冪指函數（x^x）。
• 建模並求解涉及簡諧運動、電流、等溫壓縮性與牛頓冷卻定律等實際變化率問題。

概述： 本課探討導數如何用於分析函數行為、解決最佳化問題與理解物理運動。學生將學習識別極值、判斷圖形形狀（凹凸性與拐點）、使用洛必達法則評估複雜極限，並從微分過渡至反導數與微分方程。

學習成果：

• 利用閉區間法與費馬定理識別並計算絕對極值與局部極值。
• 應用羅爾定理與平均值定理，證明函數的存在性性質。
• 使用一階與二階導數測試，判斷函數遞增/遞減區間、凹凸性與曲線繪製中的拐點。

概述： 本課引導學生從有限和（黎曼和）直觀逼近面積與距離，過渡到微積分基本定理（FTC）的精確分析能力。課程建立積分作為和的極限，並展示 FTC 如何橋接微分與積分之間的差距，最終導出淨變動定理與變數代換法，以評估複雜積分。

學習成果：

• 將定積分定義為黎曼和的極限，並使用求和符號（σ）進行簡潔表示。
• 應用微積分基本定理的兩部分，求出面積函數的導數並計算定積分。
• 利用淨變動定理區分位移與總路程。

概述： 本課探討定積分在基本曲線下面積計算之外的實際與幾何延伸。學生將學習計算相交曲線間的面積（使用 x 與 y 為變數），將此概念應用於經濟不平等的吉尼指數，並利用切片法、圓盤法與圓柱殼法計算複雜三維體積。最後，課程定義連續函數的平均值與積分中值定理。

學習成果：

• 透過識別交點與相對方向，計算多條函數曲線所圍區域的面積。
• 建構使用圓盤法、圓環法與圓柱殼法的旋轉體體積積分表達式。
• 應用積分求函數在閉區間上的平均值，並找出符合積分中值定理的點。

概述： 本綜合單元探討超越基本代換法的高階積分技巧。內容涵蓋代數策略（分部積分、部分分式）、三角技巧（三角積分與代換）、以及針對無初等原函數的函數之數值方法（中點法與梯形法）。最後，範圍擴展至瑕積分，提供處理無限區間與不連續被積函數的理論架構。

學習成果：

• 應用分部積分與降次公式，解決代數與超越函數的乘積。
• 利用三角代換與部分分式分解，將複雜的有理式與根式轉換為可積形式。
• 實施近似積分技巧，並計算定積分的誤差估計。

概述： 本課探討定積分在基本面積與體積之外的進階應用。課程延伸至幾何（弧長與旋轉曲面）、物理科學（水壓與質心）、經濟（消費者與生產者剩餘）、統計（機率密度函數與常態分配）。理工科學生將學習透過累加無窮小量，建立複雜現實現象的模型。

學習成果：

• 精確計算光滑曲線的弧長，以及曲線繞軸旋轉產生的表面面積。
• 計算浸沒表面的水壓，並利用力矩定位平面區域的形心。
• 應用積分計算經濟剩餘，並利用機率密度函數與常態分配分析連續隨機變數。

概述： 本課探討一階微分方程的建模與求解。學生將從方向場的定性分析與歐拉法的數值近似，過渡至可分離與線性方程的解析技巧。課程終結於應用這些模型於人口動態（自然增長、邏輯斯蒂、戈普茨模型）與多物種互動（洛特卡-沃爾泰拉掠食者-獵物系統）。

學習成果：

• 透過方向場圖形分析微分方程，並在自治方程中識別平衡解。
• 使用步長固定的歐拉法，近似初始值問題的解。
• 解析求解一階微分方程，使用分離變數法與線性及伯努利方程的積分因子。

概述： 本課探討以參數方程與極座標表示曲線，突破傳統笛卡兒函數的限制。學生將學習分析這些曲線的幾何與微積分特性——包括切線、面積、弧長與曲率——並應用這些工具描述圓錐曲線與行星運動，依據開普勒定律。

學習成果：

• 定義並繪製參數曲線，辨識其方向，並消去參數以找到笛卡兒等價形式。
• 對參數與極座標曲線應用微分與積分運算，以確定斜率、面積與長度。
• 以笛卡兒與極座標定義圓錐曲線（拋物線、橢圓、雙曲線），並連結至軌道力學等物理現象。

概述： 本課涵蓋無窮數列與級數的嚴謹數學框架，從離散數字列表過渡到無限項求和。學生將掌握收斂性檢驗、將函數表示為冪級數（泰勒與麥克勞林級數），並應用這些數學工具於黑體輻射定律與電磁勢等物理現象。

學習成果：

• 使用多種專門檢驗法（積分、比較、比值、根值等）判斷數列與級數的收斂或發散。
• 建構與操作冪級數，包括泰勒與麥克勞林展開，以表示與近似超越函數。
• 應用完備性公設與單調數列定理，證明收斂性並解決工程與物理問題。

概述： 本課介紹以座標系統與向量分析三維空間的基本架構。學生將從 \mathbb{R}^3 中定位點與球體，進而執行點積與叉積等代數運算。這些工具隨後應用於推導直線、平面與複雜二次曲面的方程式，為多變數微積分與理工應用奠定幾何基礎。

學習成果：

• 在三維笛卡兒座標系中表示點、球體與向量。
• 進行並應用向量運算，包括加法、純量乘法、點積與叉積，以解決幾何與物理問題（如功、扭矩、體積）。
• 建構三維空間中直線與平面的方程式，並判斷其空間關係（平行、相交或歪斜）。

概述： 本課探討向量值函數，即將實數參數（通常為時間 t）映射至三維空間中的向量，有效描繪空間曲線。學生將對這些函數應用微積分，以確定導數（速度）、積分（位移）與幾何性質，如弧長、曲率與 TNB（切線-法線-副法線）框架。課程終結於物理應用，包括投體運動、牛頓第二定律與開普勒行星運動定律。

學習成果：

• 識別向量函數的定義域、極限與連續性，並描述其對應的空間曲線。
• 計算向量函數的導數與積分，以求得切向量與位置。
• 使用各種公式計算弧長與曲率，並判斷法平面與密切平面的方向。

概述： 本課探討多變數函數的微積分，將極限、連續性與微分概念延伸至高維度。學生將學習使用等高線視覺化曲面，透過切平面與微分近似複雜函數，並利用偏微分與拉格朗日乘數法解決現實世界的最佳化問題——從工業生產模型（科布-道格拉斯）到水力渦輪機能量最大化。

學習成果：

• 使用等高線與等高曲面定義並視覺化多變數函數。
• 計算並解釋偏微分、方向導數與梯度向量。
• 應用鏈式法則與樹狀圖，微分複合與隱函數。

概述： 本課探討定積分在二變數與三變數函數上的延伸。學生將學習計算體積與表面積，應用積分於質量與慣性矩等物理概念，並利用各種座標系統（極座標、圓柱座標、球座標）與雅可比行列式進行一般變換。

學習成果：

• 使用迭代積分與富比尼定理，在矩形與一般區域上評估雙重與三重積分。
• 應用多重積分解決物理（質量、質心、慣性矩）與統計（聯合機率密度、期望值）等現實問題。
• 使用雅可比行列式在多重積分中進行變數變換，以簡化複雜積分區域。

概述： 本課探討將微分與積分概念延伸至向量場的數學分支。學生將學習建模重力與電場等物理現象，計算路徑與曲面積分中的功與通量，並應用向量微積分的主要統一定理——格林定理、斯托克斯定理與散度定理——將區域內的積分與其邊界上的積分相互關聯。

學習成果：

• 定義並視覺化 \mathbb{R}^2 與 \mathbb{R}^3 中的向量場、梯度場與保守場。
• 使用各種參數化方式，評估標量函數與向量場的線積分與曲面積分。
• 應用線積分的基本定理，判斷路徑無關性並尋找勢函數。

概述： 本課涵蓋二階線性微分方程的理論與應用，聚焦於齊次與非齊次形式。學生將學習使用特徵方程求解常係數方程，處理初始與邊界條件，並應用疊加原理。課程進一步探討透過待定係數法與參數變換法求解非齊次方程。

學習成果：

• 使用特徵方程，針對三種不同情況（實數相異根、實數重根、複數根），求解二階線性齊次方程。
• 辨別並求解初始值問題（IVP）與邊界值問題（BVP）。
• 透過組合齊次解與特解（y = y_c + y_p），構造非齊次方程的一般解。