微积分：早期超越函数（第7版）

概述： 本课涵盖函数的基本定义与表示方法，提供一套坚实的数学模型体系，广泛应用于科学、技术、工程与数学领域。学生将探索如何对现有函数进行变换、构造复合函数，并求出反函数，最终掌握包括数学归纳法在内的高级解题技巧。

学习成果：

• 使用四种方法定义并表示函数，确定其定义域、值域和对称性。
• 对基本函数（线性、多项式、三角、指数、对数函数）进行分类，并用于建模现实世界现象。
• 执行垂直/水平变换及函数复合运算。

概述： 本课通过建立极限的严格定义及其在连续性和导数中的应用，完成从代数到微积分的根本过渡。学生将从直观的图形极限理解逐步过渡到精确的 ε-δ 定义，最终利用这些工具将导数定义为函数本身以及变化率。

学习成果：

• 使用代数法则、直接代入法和夹逼定理计算极限。
• 定义连续性，并利用极限识别不连续类型。
• 应用介值定理定位方程的根。

概述： 本课涵盖理工科学生必需的完整求导规则体系，从基础多项式幂法则到复杂的超越函数。内容结合机械计算与物理、生物、经济学中的实际应用，包括增长/衰减模型、相关变化率和线性近似。学生将从求简单显函数的导数，进阶至掌握隐函数求导和对数求导技术，以处理多变量和复合结构。

学习成果：

• 应用幂法则、乘积法则、商法则和链式法则对代数、三角、指数、对数及反函数求导。
• 执行隐函数求导和对数求导，以解决复杂结构方程和幂函数形式（如 x^x）。
• 建模并求解涉及简谐运动、电流、等温压缩率和牛顿冷却定律的实际变化率问题。

概述： 本课探讨导数如何用于分析函数行为、求解优化问题以及理解物理运动。学生将学习如何识别极值点，判断图像形状（凹凸性与拐点），使用洛必达法则评估复杂极限，并从导数过渡到原函数与微分方程。

学习成果：

• 使用闭区间法和费马定理识别并计算绝对极值与局部极值。
• 应用罗尔定理和中值定理证明函数的存在性质。
• 使用一阶与二阶导数判别法确定函数的增减区间、凹凸性及拐点，用于曲线绘制。

概述： 本课引导学生从有限和（黎曼和）对面积与距离的直观逼近，过渡到微积分基本定理（FTC）的精确解析能力。它将积分定义为和式的极限，并展示 FTC 如何弥合微分与积分之间的鸿沟，最终引出净变化定理和代换法，用于求解复杂积分。

学习成果：

• 将定积分定义为黎曼和的极限，并使用求和符号（sigma notation）进行简洁表达。
• 应用微积分基本定理的两部分，求面积函数的导数并计算定积分。
• 利用净变化定理区分位移与总路程。

概述： 本课拓展定积分的实际与几何应用，超越简单的“曲线下面积”计算。学生将学习计算两条相交曲线之间的区域面积（可使用 x 或 y 作为变量），将这些概念应用于经济学中的不平等分析（基尼系数），并利用切片法、圆盘法、垫圈法和柱壳法计算复杂三维立体的体积。最后，课程定义连续函数的平均值及积分中值定理。

学习成果：

• 通过确定交点和相对位置，计算由多个函数曲线围成区域的面积。
• 构建使用圆盘法、垫圈法和柱壳法的旋转体体积积分表达式。
• 应用积分求函数在闭区间上的平均值，并找出满足积分中值定理的点。

概述： 本综合单元深入探讨超越基本代换法的高级积分方法。内容涵盖代数策略（分部积分、部分分式）、三角技巧（三角积分与三角代换），以及针对无初等原函数的数值方法（中点法与梯形法）。最后，扩展至广义积分，为处理无穷区间和不连续被积函数提供理论框架。

学习成果：

• 应用分部积分法与递推公式求解代数与超越函数的乘积。
• 运用三角代换与部分分式分解，将复杂的有理式与根式表达式转化为可积形式。
• 实施近似积分技术并计算定积分的误差估计。

概述： 本课探讨定积分在基本面积与体积之外的高级应用。它将积分延伸至几何学（弧长与旋转曲面）、物理学（流体静压力与质心）、经济学（消费者剩余与生产者剩余）以及统计学（概率密度函数与正态分布）。理工科学生将学习通过累积无穷小量来建模复杂的现实现象。

学习成果：

• 精确计算光滑曲线的弧长，以及曲线绕轴旋转生成的曲面面积。
• 计算浸没表面所受的流体静压力，并利用力矩确定平面区域的形心。
• 应用积分计算经济盈余，并利用概率密度函数分析连续型随机变量的正态分布。

概述： 本课探讨一阶微分方程的建模与求解。学生将从方向场的定性分析和欧拉法的数值逼近，进展到分离变量法与线性方程的解析解法。课程最终将这些模型应用于人口动力学（自然增长、逻辑斯蒂与戈姆佩兹模型）以及基于洛特卡-沃尔泰拉捕食者-猎物系统的多物种相互作用。

学习成果：

• 通过方向场对微分方程进行图形分析，并在自治方程中识别平衡解。
• 使用欧拉法以特定步长近似求解初值问题。
• 通过分离变量法与积分因子法（用于线性与伯努利方程）解析求解一阶微分方程。

概述： 本课探讨通过参数方程与极坐标表示曲线的方法，突破传统笛卡尔函数的局限。学生将学习分析这些曲线的几何与微积分特性——包括切线、面积、弧长与曲率，并运用这些工具描述圆锥曲线及开普勒行星运动定律。

学习成果：

• 定义并绘制参数曲线，识别其方向，并消参以得到笛卡尔等价形式。
• 对参数曲线与极坐标曲线应用微积分，求斜率、面积与长度。
• 用笛卡尔与极坐标定义圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线），并将其与轨道力学等物理现象关联。

概述： 本课涵盖无穷数列与级数的严谨数学框架，从离散数列过渡到无限项的求和。学生将掌握收敛性检验法，将函数表示为幂级数（泰勒与麦克劳林级数），并应用这些数学工具研究普朗克定律与电磁势等物理现象。

学习成果：

• 使用多种专门测试法（积分判别法、比较判别法、比值判别法、根值判别法等）判断数列与级数的收敛或发散。
• 构造并操作幂级数，包括泰勒与麦克劳林展开，用于表示与逼近超越函数。
• 应用完备性公理与单调数列定理证明收敛性，并解决工程与物理问题。

概述： 本课介绍使用坐标系与向量分析三维空间的基本框架。学生将从 \mathbb{R}^3 中点与球体的定位出发，学习向量的代数运算（如点积与叉积）。这些工具随后用于推导直线、平面及复杂二次曲面的方程，为多元微积分与理工科应用奠定几何基础。

学习成果：

• 在三维笛卡尔坐标系中表示点、球体与向量。
• 执行并应用向量运算，包括加法、数乘、点积与叉积，以解决几何与物理问题（如功、力矩、体积）。
• 构造三维空间中直线与平面的方程，并判断其空间关系（平行、相交或异面）。

概述： 本课探讨向量值函数，即把实数参数（通常为时间 t）映射到三维空间向量的函数，有效描绘空间曲线。学生将对这些函数应用微积分，求导（速度）、积分（位移）及几何属性（如弧长、曲率、TNB（切线-主法线-副法线）标架）。课程最终应用于物理问题，包括抛体运动、牛顿第二定律及开普勒行星运动定律。

学习成果：

• 确定向量函数的定义域、极限与连续性，并描述其对应的空间曲线。
• 计算向量函数的导数与积分，以获得切向量与位置。
• 使用不同公式计算弧长与曲率，并确定主法面与密切平面的方向。

概述： 本课探讨多变量函数的微积分，将极限、连续性与导数的概念推广到高维空间。学生将学习使用等高线可视化曲面，通过切平面与微分近似复杂函数，并利用偏导数与拉格朗日乘数法求解现实世界优化问题——从工业生产模型（科布-道格拉斯模型）到水力涡轮机能量最大化。

学习成果：

• 使用等高线与等值面可视化多变量函数。
• 计算并解释偏导数、方向导数与梯度向量。
• 应用链式法则与树状图对复合函数与隐函数求导。

概述： 本课探讨定积分向二元与三元函数的扩展。学生将学习计算体积与表面积，将积分应用于质量与转动惯量等物理概念，并利用极坐标、柱坐标、球坐标等多种坐标系统，以及通过雅可比行列式进行一般变换。

学习成果：

• 使用迭代积分与富比尼定理，在矩形区域与一般区域上计算二重与三重积分。
• 应用多重积分解决物理（质量、质心、转动惯量）与统计（联合密度、期望值）中的实际问题。
• 通过雅可比行列式在多重积分中执行变量替换，简化复杂积分区域。

概述： 本课探讨将微分与积分概念扩展到向量场的数学分支。学生将学习建模引力场与电场等物理现象，通过线积分与面积分计算功与通量，并应用向量微积分的核心统一定理——格林定理、斯托克斯定理与散度定理，将区域上的积分与边界上的积分联系起来。

学习成果：

• 定义并可视化 \mathbb{R}^2 与 \mathbb{R}^3 中的向量场、梯度场与保守场。
• 使用不同参数化方法计算标量函数与向量场的线积分与面积分。
• 应用线积分基本定理判断路径无关性，并求出势函数。

概述： 本课涵盖二阶线性微分方程的理论与应用，重点研究齐次与非齐次形式。学生将学习使用辅助方程求解常系数方程，处理初值与边值条件，并应用叠加原理。课程进一步探讨通过待定系数法与参数变易法求解非齐次方程。

学习成果：

• 使用辅助方程求解常系数二阶齐次线性方程，涵盖三种情况（实根相异、实根重复、复根）。
• 区分并求解初值问题（IVP）与边值问题（BVP）。
• 通过组合齐次解与特解（y = y_c + y_p）构建非齐次方程的通解。