【Édition HJR】Mathématiques du collège, 7e année, Semestre 2

📚 Résumé du contenu

Ce manuel constitue une composante essentielle des mathématiques au collège, couvrant les droites sécantes et parallèles, les nombres réels, le repère cartésien, les systèmes d'équations linéaires à deux inconnues, les inégalités et groupes d'inégalités, ainsi que la collecte, l'organisation et la description des données. Grâce à cette année scolaire, les élèves passeront progressivement des relations géométriques élémentaires à la logique algébrique, établissant ainsi une base de pensée reliant nombre et forme.

Découvrez les mystères des nombres et des formes, développez une pensée mathématique rigoureuse.

Auteur : Lin Qun

Remerciements : Ce manuel est un manuel scolaire pour l'enseignement obligatoire approuvé par le Ministère de l'Éducation, rédigé par le Centre de recherche et de développement des manuels scolaires du collège du Département de mathématiques de l'Institut des manuels scolaires de l'Édition Populaire de Chine.

🎯 Objectifs d'apprentissage

1. Identifier et calculer les angles adjacents supplémentaires et les angles opposés par le sommet, maîtriser la propriété selon laquelle les angles opposés par le sommet sont égaux, ainsi que la méthode et les caractéristiques de construction de perpendiculaires.
2. Comprendre le postulat des parallèles et être capable d'utiliser les relations entre angles correspondants, angles alternes-internes et angles consécutifs-internes dans le cadre des « trois droites et huit angles » pour déterminer si deux droites sont parallèles.
3. Maîtriser la définition de la translation et être capable d'utiliser la caractéristique selon laquelle les segments reliant des points correspondants sont parallèles et de même longueur pour concevoir des transformations simples de figures.
4. Comprendre les concepts de racine carrée arithmétique, racine carrée et racine cubique, et être capable de réaliser facilement les opérations d'extraction de racine carrée et de racine cubique.
5. Maîtriser les propriétés des racines carrées et cubiques (comme les caractéristiques des racines des nombres positifs, négatifs et zéro), et être capable d'identifier les nombres irrationnels.
6. Maîtriser le système de classification des nombres réels, et être capable d'utiliser la méthode d'estimation ou les propriétés du carré et du cube pour comparer la grandeur des nombres réels.
7. Comprendre et maîtriser les notions fondamentales du repère cartésien, être en mesure d'identifier précisément les axes, l'origine et les quatre quadrants.
8. Comprendre les règles de translation, être capable de calculer aisément les nouvelles coordonnées d'un point ou d'une figure après une translation horizontale ou verticale, et de décrire le processus de translation à partir des variations des coordonnées.
9. Appliquer la méthode des coordonnées, être capable de construire un repère cartésien simple pour décrire une localisation géographique ou résoudre des problèmes concrets impliquant une combinaison de nombres et de formes.
10. Maîtriser les méthodes de résolution : savoir utiliser avec aisance la méthode de substitution et la méthode d'addition-soustraction pour résoudre des systèmes d'équations linéaires à deux inconnues.

🔹 Leçon 1 : Fondamentaux et preuves géométriques sur les droites sécantes et parallèles

Aperçu : Ce cours couvre les bases fondamentales de la géométrie au collège, principalement l'étude des positions relatives de deux droites dans un même plan (sécantes ou parallèles). En étudiant les propriétés des angles adjacents supplémentaires, des angles opposés par le sommet et des perpendiculaires, les élèves seront initiés aux raisonnements géométriques ; ensuite, grâce aux critères de parallélisme et aux propriétés des droites parallèles, ils maîtriseront les modes fondamentaux d'expression en preuves géométriques (car / donc) ; enfin, via les transformations de translation, ils comprendront la notion d'invariance des figures lors de leur mouvement.

Résultats d'apprentissage :

• Identifier et calculer les angles adjacents supplémentaires et les angles opposés par le sommet, maîtriser la propriété selon laquelle les angles opposés par le sommet sont égaux, ainsi que la méthode et les caractéristiques de construction de perpendiculaires.
• Comprendre le postulat des parallèles et être capable d'utiliser les relations entre angles correspondants, angles alternes-internes et angles consécutifs-internes dans le cadre des « trois droites et huit angles » pour déterminer si deux droites sont parallèles.
• Maîtriser la définition de la translation et être capable d'utiliser la caractéristique selon laquelle les segments reliant des points correspondants sont parallèles et de même longueur pour concevoir des transformations simples de figures.

🔹 Leçon 2 : Définition, opérations et extensions des propriétés des nombres réels

Aperçu : Ce chapitre aborde les concepts clés de l'extension du système des nombres rationnels vers celui des nombres réels, en se concentrant particulièrement sur les définitions, opérations et propriétés des racines carrées arithmétiques, des racines carrées et des racines cubiques. En étudiant les opérations d'extraction de racines, les élèves comprendront l'existence objective des nombres décimaux infinis non périodiques (nombres irrationnels), maîtriseront les méthodes de classification des nombres réels, et seront capables de comparer la grandeur des nombres réels, posant ainsi les bases nécessaires pour les apprentissages algébriques ultérieurs.

Résultats d'apprentissage :

• Comprendre les concepts de racine carrée arithmétique, racine carrée et racine cubique, et être capable de réaliser facilement les opérations d'extraction de racine carrée et de racine cubique.
• Maîtriser les propriétés des racines carrées et cubiques (comme les caractéristiques des racines des nombres positifs, négatifs et zéro), et être capable d'identifier les nombres irrationnels.
• Maîtriser le système de classification des nombres réels, et être capable d'utiliser la méthode d'estimation ou les propriétés du carré et du cube pour comparer la grandeur des nombres réels.

🔹 Leçon 3 : Repère cartésien plan et introduction à la liaison entre nombres et formes

Aperçu : Ce plan d'enseignement vise à guider les élèves de sixième année vers une transition du nombre à une dimension (axe numérique) vers le repère cartésien à deux dimensions. L'accent est mis sur la compréhension de la manière dont un couple ordonné détermine de façon unique la position d'un point, la maîtrise des règles de division en quatre quadrants, et l'exploration approfondie de la logique des changements de coordonnées lors de translations de points et de figures, afin d'atteindre une fusion initiale entre « résoudre des formes à l'aide de nombres » et « aider à comprendre les nombres à l'aide de formes ».

Résultats d'apprentissage :

• Comprendre et maîtriser les notions fondamentales du repère cartésien, être en mesure d'identifier précisément les axes, l'origine et les quatre quadrants.
• Comprendre les règles de translation, être capable de calculer aisément les nouvelles coordonnées d'un point ou d'une figure après une translation horizontale ou verticale, et de décrire le processus de translation à partir des variations des coordonnées.
• Appliquer la méthode des coordonnées, être capable de construire un repère cartésien simple pour décrire une localisation géographique ou résoudre des problèmes concrets impliquant une combinaison de nombres et de formes.

🔹 Leçon 4 : Méthodes et modélisation appliquée aux systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

Aperçu : Ce chapitre s'articule autour de l'idée fondamentale de « suppression d'inconnues », permettant de transformer des systèmes complexes à deux (ou trois) inconnues linéaires en équations linéaires à une inconnue familières. Les points clés de l'enseignement comprennent les techniques opératoires des méthodes de substitution et d'addition-soustraction, ainsi que la capacité à établir des modèles mathématiques pour des problèmes concrets (comme la navigation, la production, la géométrie, etc.).

Résultats d'apprentissage :

• Maîtriser les méthodes de résolution : savoir utiliser avec aisance la méthode de substitution et la méthode d'addition-soustraction pour résoudre des systèmes d'équations linéaires à deux inconnues.
• Modélisation mathématique : être capable d'analyser les relations d'égalité dans des problèmes concrets, d'établir des systèmes d'équations linéaires à deux inconnues pour résoudre des problèmes pratiques.
• Extension logique : comprendre la logique de résolution des systèmes d'équations linéaires à trois inconnues, c’est-à-dire la transformation successive en équation à une seule inconnue par plusieurs étapes de suppression.

🔹 Leçon 5 : Logique et opérations des inéquations linéaires à une inconnue

Aperçu : Cette leçon vise à guider les élèves du raisonnement équilibré basé sur les équations vers un raisonnement asymétrique fondé sur les inéquations. Elle couvre les propriétés de base des inéquations (notamment le changement de sens de l'inégalité lors de la multiplication ou de la division par un nombre négatif), la méthode standard de résolution des inéquations linéaires à une inconnue, la représentation graphique intuitive des solutions sur une droite numérique, et la manière d'utiliser des modèles d'inéquations pour résoudre des problèmes concrets portant sur les valeurs extrêmes ou les intervalles. Enfin, en cherchant la « partie commune » des solutions de plusieurs inéquations, les élèves maîtriseront les opérations logiques des systèmes d'inéquations linéaires à une inconnue.

Résultats d'apprentissage :

• Comprendre et maîtriser les trois propriétés fondamentales des inéquations, être capable d'effectuer correctement les transformations équivalentes des inéquations.
• Être capable de résoudre aisément les inéquations linéaires à une inconnue et les systèmes d'inéquations, et de représenter correctement les ensembles solutions sur une droite numérique (différencier les points creux et les points pleins).
• Être capable de construire des modèles d'inéquations et de les résoudre à partir de mots-clés présents dans les problèmes concrets (comme « au moins », « plus de », « pas plus de »).

🔹 Leçon 6 : Collecte, organisation et analyse statistique descriptive des données

Aperçu : Ce cours vise à guider les élèves de sixième année vers la maîtrise des méthodes de base des enquêtes statistiques, depuis la collecte des données (enquête exhaustive ou échantillonnage) jusqu'à l'organisation des données (tableau de distribution de fréquences) et à la description des données (diagrammes en barres, diagrammes circulaires, histogrammes). À travers le projet « Parler de l’économie d’eau à partir des données », les élèves appliqueront la théorie mathématique à des problèmes environnementaux concrets, développant ainsi une vision analytique des données et une capacité décisionnelle scientifique.

Résultats d'apprentissage :

• Savoir distinguer une enquête exhaustive d’un échantillonnage, identifier précisément la population, l’individu, l’échantillon et la taille de l’échantillon.
• Savoir tracer facilement des diagrammes en barres et des diagrammes circulaires, maîtriser la méthode de calcul des angles centraux dans les diagrammes circulaires.
• Maîtriser les étapes de fabrication d’un tableau de distribution de fréquences et d’un histogramme, comprendre l’impact de l’amplitude et du nombre de classes sur la description de la répartition des données.