【УМК «Человек»】 Алгебра и начала анализа. Базовый курс. Часть 2 (версия А)

📚 Обзор содержания

Настоящий учебник охватывает пять основных глав: плоские векторы и их применение, комплексные числа, элементы стереометрии, статистика и вероятность. Цель — формирование ключевых математических компетенций учащихся (логическое рассуждение, математическое моделирование, анализ данных) через интеграцию «чисел» и «фигур».

Освойте основные математические методы мышления и исследуйте глубокое взаимопроникновение векторов, комплексных чисел и геометрии.

Авторы: Чжан Цзянььюэ, Ли Цзэнху

Благодарности: Настоящий учебник был одобрен экспертным комитетом Комитета по государственным учебникам (2019); права на публикацию и финансирование принадлежат издательству «Чжунцзюй дзюйцзяо».

🎯 Цели обучения

1. Понимать физический контекст векторов, знать базовые понятия (вектор, равные векторы, коллинеарные векторы) и их геометрическую интерпретацию.
2. Уметь выполнять операции сложения, вычитания и умножения вектора на число, понимать их геометрический смысл, а также производить линейные операции с помощью координат.
3. Знать определение скалярного произведения векторов, его свойства и понятие проекции вектора, понимать его физический смысл (например, работа).
4. Понимать алгебраическую форму комплексного числа z = a+bi, понятия сопряжённого комплексного числа и модуля.
5. Уметь выполнять алгебраические операции над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление), использовать сопряжённые числа при делении.
6. Уметь переводить операции с комплексными числами в действия над векторами на комплексной плоскости (правило параллелограмма, правило треугольника), применять геометрический смысл модуля для решения задач на расстояния и траектории.
7. Уметь точно различать структурные особенности призм, пирамид, усечённых пирамид и тел вращения, а также распознавать простые комбинированные тела.
8. Знать формулы площадей поверхностей и объёмов цилиндров, конусов, усечённых конусов и шаров, понимать роль принципа Цзу Гэн в выводе формул объёмов.
9. Уметь применять теоремы о параллельности и перпендикулярности в пространстве, а также свойства этих отношений, проводить строгие геометрические доказательства по аксиоматической системе.
10. Уметь различать простое случайное отбора выборки и стратифицированную случайную выборку, выбирать подходящий способ получения данных в зависимости от конкретной ситуации.

🔹 Урок 1: Плоские векторы и их применение

Обзор: В этом курсе рассматриваются основы теории плоских векторов и их широкое применение в геометрии и тригонометрии. Учащиеся начнут с физического контекста (перемещение, сила), изучая геометрическую интерпретацию векторов и линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число), затем освоят скалярное произведение векторов, понятие проекции и представление векторов через координаты. В завершение, с использованием основной теоремы о плоских векторах, векторные методы будут применены к изучению треугольников, углублённо изучены теоремы синусов и косинусов, а также решены задачи измерения и геометрических доказательств.

Результаты обучения:

• Понимать физический контекст векторов, знать базовые понятия (вектор, равные векторы, коллинеарные векторы) и их геометрическую интерпретацию.
• Уметь выполнять операции сложения, вычитания и умножения вектора на число, понимать их геометрический смысл, а также производить линейные операции с помощью координат.
• Знать определение скалярного произведения векторов, его свойства и понятие проекции вектора, понимать его физический смысл (например, работа).

🔹 Урок 2: Алгебраические и геометрические характеристики комплексных чисел

Обзор: Этот курс призван помочь старшеклассникам глубоко понять комплексные числа с точки зрения как алгебры, так и геометрии. Включает основные понятия комплексных чисел, однозначное соответствие между комплексными числами, точками на комплексной плоскости и векторами, а также алгебраические правила четырёх арифметических операций и их геометрическое значение (перенос, растяжение, поворот). В завершение курса вводится тригонометрическая форма комплексных чисел, обеспечивая единство алгебраической и тригонометрической форм.

Результаты обучения:

• Понимать алгебраическую форму комплексного числа z = a+bi, понятия сопряжённого комплексного числа и модуля.
• Уметь выполнять алгебраические операции над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление), использовать сопряжённые числа при делении.
• Уметь переводить операции с комплексными числами в действия над векторами на комплексной плоскости (правило параллелограмма, правило треугольника), применять геометрический смысл модуля для решения задач на расстояние и траекторию.

🔹 Урок 3: Основы стереометрии

Обзор: Этот раздел направлен на то, чтобы помочь учащимся перейти от эмоционального восприятия к логическому анализу, систематически изучая структурные особенности пространственных фигур. Рассматриваются определения, графическое изображение, расчёт площадей поверхностей и объёмов (включая принцип Цзу Гэн) основных тел (цилиндр, конус, усечённый конус, шар), а также логические правила и свойства параллельности и перпендикулярности между точками, прямыми и плоскостями в пространстве. В заключение — обобщение по аксиоматической системе Евклида.

Результаты обучения:

• Уметь точно различать структурные особенности призм, пирамид, усечённых пирамид и тел вращения, а также распознавать простые комбинированные тела.
• Знать формулы площадей поверхностей и объёмов цилиндров, конусов, усечённых конусов и шаров, понимать роль принципа Цзу Гэн в выводе формул объёмов.
• Уметь применять теоремы о параллельности и перпендикулярности в пространстве, а также свойства этих отношений, проводить строгие геометрические доказательства по аксиоматической системе.

🔹 Урок 4: Основы статистики и анализ данных

Обзор: Этот раздел направлен на то, чтобы помочь учащимся освоить основной процесс статистики: от сбора данных (случайная выборка, различные способы получения данных) до их обработки (таблицы частот и гистограммы, выбор типов графиков), далее — анализ и вывод (оценка генеральной совокупности по выборке, процентили). На примере «состояния ожирения сотрудников компании» учащиеся научатся применять статистические методы к сложным реальным проблемам и понимать вероятностный характер статистических выводов.

Результаты обучения:

• Уметь различать простую случайную выборку и стратифицированную случайную выборку, выбирать наиболее подходящий способ получения данных в зависимости от конкретной ситуации.
• Уметь правильно строить и интерпретировать гистограммы распределения частот, оценивать положение данных в генеральной совокупности с помощью процентилей.
• Уметь выбирать наиболее подходящий тип статистического графика в зависимости от целей анализа и составлять отчёт по статистическому исследованию на основе анализа данных.

🔹 Урок 5: Теория вероятностей и случайное моделирование

Обзор: В этом учебном проекте рассматриваются основные концепции теории вероятностей, начиная с определения случайного эксперимента, вводятся понятия пространства элементарных исходов и множества событий. Через исследование логических связей и операций между событиями учащиеся осваивают методы расчёта классической вероятности (вероятность равновозможных исходов), а затем, используя устойчивость частоты, переходят к случайному моделированию и методу Монте-Карло, тем самым создавая полный цикл познания — от теоретических выводов к численным экспериментам.

Результаты обучения:

• Уметь корректно определять случайный эксперимент, пространство элементарных исходов и различные виды случайных событий, описывать отношения между событиями с помощью языка множеств (включение, объединение, пересечение, несовместность, противоположность).
• Уметь определять характеристики классической вероятности, вычислять вероятности простых случайных событий с помощью методов подсчёта.
• Понимать связь между частотой и вероятностью, знать основные идеи случайного моделирования и уметь применять метод Монте-Карло для решения сложных практических задач вероятностного характера.