รูปแบบการเชื่อมโยงในไฮเปอร์ไซเคิลสองสมาชิก

ภายใต้ การจัดระเบียบคงที่ ไฮเปอร์ไซเคิลสองสมาชิกคงความเข้มข้นรวมให้คงที่ สถานะทั้งหมดจึงอธิบายได้ด้วยตัวเลขเดียว คือสัดส่วน โดยที่ สมการการเติบโตของสมาชิกทั้งสองคือ

โดยที่ คือผลผลิตส่วนเกินเฉลี่ยที่ถูกลบออกจากทั้งสองสมการ ค่าคงที่แนวทแยง และ วัด การเสริมตัวเองส่วนค่าคงที่นอกแนวทแยง และ วัด การเสริมกันแบบเร่งปฏิกิริยาไขว้เนื่องจากพจน์ Φ เดียวกันถูกลบออกจากสมาชิกทั้งสอง ผลลัพธ์จึงขึ้นอยู่กับผลต่างระหว่างค่าคงที่อัตรา มากกว่าขนาดสัมบูรณ์ของมัน และการวิเคราะห์การรุกรานแบบเดียวกับที่ใช้หาจุดตรึงยังจำแนกชุดพารามิเตอร์ทุกชุดออกเป็นหนึ่งในสี่รูปแบบการเชื่อมโยง

คำถามเรื่องการรุกรานสองข้อตัดสินทุกอย่าง

ความเสถียรของสถานะบริสุทธิ์พิจารณาได้จากการถามว่าสมาชิกที่หายไปสามารถเติบโตได้หรือไม่เมื่อมันมีอยู่น้อยในประชากรที่ประกอบด้วยสมาชิกประจำถิ่นทั้งหมด:

สมาชิก 2 สามารถรุกรานสถานะบริสุทธิ์ของสมาชิก 1 ได้หรือไม่? ได้ก็ต่อเมื่อ .
สมาชิก 1 สามารถรุกรานสถานะบริสุทธิ์ของสมาชิก 2 ได้หรือไม่? ได้ก็ต่อเมื่อ .

แต่ละคำถามมีคำตอบใช่/ไม่ใช่ คำถามคู่จึงให้กรณีทั้งหมดสี่กรณี ซึ่งเป็นสี่รูปแบบการเชื่อมโยงในตารางที่ 17

ตารางที่ 17: สี่รูปแบบการเชื่อมโยง

รูปแบบ	อสมการการรุกราน	จุดตรึงที่เสถียร	จุดตรึงภายใน
การแข่งขัน	และ	ทั้งสองมุม และ	เส้นแบ่งที่ไม่เสถียร
การคัดเลือกสมาชิก 1	และ	มุม	ไม่เสถียร
การคัดเลือกสมาชิก 2	และ	มุม	ไม่เสถียร
การรักษาเสถียรภาพไฮเปอร์ไซคลิกซึ่งกันและกัน	และ	จุดอยู่ร่วมกันภายใน	เสถียร

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ

กำหนดให้ โดยที่ ดังนั้น และ รูปแบบจึงเป็นการรักษาเสถียรภาพไฮเปอร์ไซคลิกซึ่งกันและกัน: สมาชิกแต่ละตัวสามารถรุกรานสถานะบริสุทธิ์ของอีกฝ่ายได้ ทั้งสองมุมไม่เสถียร และจุดตรึงภายในเป็นตัวดึงดูด ตำแหน่งของมันได้จากเงื่อนไขสมดุล ซึ่งให้ เริ่มเพาะเลี้ยงที่ หรือที่ และมันยังคงเข้าสู่ค่าครึ่งหนึ่ง ต่อไปสลับตัวเลขเป็น และ อสมการพลิกกลับ: ไม่มีสมาชิกตัวใดรุกรานอีกฝ่ายได้ สถานะบริสุทธิ์ทั้งสองเสถียร รูปแบบคือการแข่งขัน และจุดภายในจุดเดิมกลับกลายเป็นเส้นแบ่งที่ไม่เสถียรซึ่งเพียงแค่แบ่งว่ามุมใดจะถูกเข้าถึง

การอ่านรูปแบบโดยไม่ต้องอินทิเกรต

เนื่องจาก ระบบสองมิติยุบเหลือเพียงหนึ่งมิติ และค่าลักษณะเฉพาะที่มุมทั้งสองลดรูปเป็นอสมการการรุกรานสองข้อข้างต้นพอดี การจำแนกชุดพารามิเตอร์จึงใช้เพียงสองการเปรียบเทียบ ไม่ต้องอินทิเกรตเชิงตัวเลขและไม่ต้องจำลอง: จุดภายในเสถียรพอดีในรูปแบบการรักษาเสถียรภาพซึ่งกันและกัน และไม่เสถียรในอีกสามรูปแบบที่เหลือ การคิดบัญชีแบบเดียวกันนี้ขยายไปยังวัฏจักรสามสมาชิกและ n สมาชิกได้ (ตารางที่ 18) โดยสมาชิกแต่ละตัวถูกทดสอบว่าสามารถรุกรานชุมชนที่เกิดจากสมาชิกตัวอื่นได้หรือไม่ และสมมาตรเชิงวัฏจักรทำให้ผลลัพธ์เป็นคุณสมบัติของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์อัตราทั้งหมด มากกว่าของคู่ใดคู่หนึ่ง

เส้นทางลัดสู่คำตอบ

ทดสอบ

เทียบกับ

จากนั้น

เทียบกับ

การแข่งขัน: ตอบไม่ใช่ทั้งสองข้อ การคัดเลือกสมาชิก 1: ไม่ใช่ข้อแรก ใช่ข้อที่สอง การคัดเลือกสมาชิก 2: ใช่ข้อแรก ไม่ใช่ข้อที่สอง การรักษาเสถียรภาพไฮเปอร์ไซคลิกซึ่งกันและกัน: ใช่ทั้งสองข้อ สองการเปรียบเทียบแทนการคำนวณระนาบเฟสทั้งหมด

รูปแบบการเชื่อมโยงในไฮเปอร์ไซเคิลสองสมาชิก

ภาพเฟสสี่ภาพ หนึ่งภาพต่อรูปแบบการเชื่อมโยงหนึ่งรูปแบบของไฮเปอร์ไซเคิลสองสมาชิก สรุบบนซิมเพล็กซ์หนึ่งมิติโดยมี x ที่ปลายด้านหนึ่งและ x ที่ปลายอีกด้าน ในรูปแบบการแข่งขัน ลูกศรชี้ไปทั้งสองปลายและจุดภายในเป็นเส้นแบ่งที่ไม่เสถียร สัดส่วนเริ่มต้นจึงเป็นตัวตัดสินผู้ชนะ; การคัดเลือกสมาชิก 1 ส่งวิถีทั้งหมดไปยัง x และการคัดเลือกสมาชิก 2 ไปยัง x ; การรักษาเสถียรภาพไฮเปอร์ไซคลิกซึ่งกันและกันกลับทิศการไหลที่มุมทั้งสอง และนำระบบเข้าสู่จุดอยู่ร่วมกันที่เสถียรภายใน

คำถามข้อ 1

ไฮเปอร์ไซเคิลสองสมาชิกภายใต้การจัดระเบียบคงที่ถูกวัดค่าได้เป็น

และ

เมทริกซ์อัตรานี้อธิบายรูปแบบการเชื่อมโยงใด?

การรักษาเสถียรภาพไฮเปอร์ไซคลิกซึ่งกันและกัน: สมาชิกแต่ละตัวสามารถรุกรานสถานะบริสุทธิ์ของอีกฝ่ายได้

การคัดเลือกสมาชิก 2: สมาชิก 1 ไม่สามารถรุกรานได้ แต่สมาชิก 2 สามารถรุกรานสมาชิก 1 ได้

การคัดเลือกสมาชิก 1: สมาชิก 2 ไม่สามารถรุกรานได้ แต่สมาชิก 1 สามารถรุกรานสมาชิก 2 ได้

การแข่งขัน:

และ

สมาชิกทั้งสองจึงไม่สามารถรุกรานได้ และสถานะบริสุทธิ์ทั้งสองเสถียร

คำถามข้อ 2

อสมการคู่ใดเป็นลักษณะเฉพาะที่นิยามการรักษาเสถียรภาพไฮเปอร์ไซคลิกซึ่งกันและกันในไฮเปอร์ไซเคิลสองสมาชิก?

และ

คำถามข้อ 3

ในรูปแบบการแข่งขัน

และ

อะไรเป็นตัวตัดสินจริง ๆ ว่าสมาชิกตัวใดจะครอบงำการเพาะเลี้ยงในที่สุด?

องค์ประกอบเริ่มต้นเมื่อเทียบกับจุดตรึงภายในที่ไม่เสถียร

ค่าของ Φ ซึ่งเป็นตัวคัดเลือกสมาชิกที่รอดชีวิต

สมาชิกที่มีค่าคงที่การเสริมตัวเองมากกว่าจะชนะเสมอ

จุดสมดุลของพจน์การรุกรานทั้งสอง ซึ่งดึงการเพาะเลี้ยงเข้าสู่ส่วนผสมคงที่

คำถามข้อ 4

เหตุใดรูปแบบการเชื่อมโยงของไฮเปอร์ไซเคิลสองสมาชิกจึงจำแนกได้โดยไม่ต้องอินทิเกรตสมการการเติบโตเชิงตัวเลข?

เนื่องจาก

ลดระบบให้เหลือหนึ่งมิติ และอสมการการรุกรานที่มุมสองข้อกำหนดความเสถียรของทุกจุดตรึง

เพราะสมมาตรเชิงวัฏจักรบังคับให้ค่าคงที่อัตราทั้งสี่มีค่าเท่ากัน

เพราะเส้นแบ่งภายในมีอยู่เฉพาะเมื่อค่าคงที่อัตราทั้งสี่มีค่าเท่ากัน

เพราะผลผลิตส่วนเกินเฉลี่ย Φ เป็นศูนย์เสมอในทุกรูปแบบ

คำถามข้อ 5

ไฮเปอร์ไซเคิลสองสมาชิกมี

และ

ที่จุดตรึงภายในที่เสถียร สัดส่วนสมดุล

ดังนั้น

: อัตราส่วน

ของค่าคงที่การเสริมตัวเองเป็นตัวกำหนดสัดส่วนสมดุล

ดังนั้น

: ส่วนต่างที่มากกว่า

เป็นของสมาชิก 1 ซึ่งจึงได้ส่วนแบ่งข้างมาก

ดังนั้น

: ส่วนต่างการรุกรานของสมาชิก 1

คิดเป็นสองในห้าของส่วนต่างรวม

ดังนั้น

: จุดภายในที่เสถียรแบ่งสมาชิกทั้งสองเท่ากันเสมอ

กรณีศึกษา: ระบบรีพลิเคเตอร์สองสมาชิกบนโต๊ะทดลอง

อ่านสถานการณ์และตอบคำถามทั้งสองข้อ

การทดลองถ่ายย้ายแบบอนุกรมเลี้ยง RNA สายพันธุ์ที่จำลองตัวเองได้สองชนิด

และ

ที่ความเข้มข้นรวมคงที่ การเติบโตเป็นสัดส่วนกับความเหมาะสม

โดยที่

จากการวัดอนุกรมเจือจาง ผู้ทดลองรายงานค่า

⁻¹,

⁻¹ และ

⁻¹.

1. จำแนกรูปแบบการเชื่อมโยงของเมทริกซ์อัตรานี้โดยใช้อสมการการรุกรานสองข้อ และระบุว่าจุดตรึงใดเสถียรและจุดตรึงใดไม่เสถียร

คำตอบ:
ทดสอบการรุกรานแต่ละครั้งแยกกัน สมาชิก 2 รุกรานสถานะบริสุทธิ์ของสมาชิก 1 ได้เพราะ

; สมาชิก 1 รุกรานสถานะบริสุทธิ์ของสมาชิก 2 ได้เพราะ

การรุกรานทั้งสองสำเร็จ รูปแบบจึงเป็นการรักษาเสถียรภาพไฮเปอร์ไซคลิกซึ่งกันและกัน ด้วยเหตุนี้สถานะบริสุทธิ์ทั้งสอง

และ

จึงไม่เสถียร และจุดตรึงอยู่ร่วมกันภายในเป็นสถานะเสถียรเพียงหนึ่งเดียวของระบบ

2. คำนวณองค์ประกอบสมดุล

(และด้วยเหตุนี้

) และอธิบายว่าเกิดอะไรขึ้นกับการเพาะเลี้ยงสองชุดที่เริ่มที่

และที่

คำตอบ:
สำหรับจุดตรึงภายใน

การแทนค่าอัตราที่วัดได้ให้

ดังนั้น

เนื่องจากมุมทั้งสองไม่เสถียรในรูปแบบนี้ การเพาะเลี้ยงทั้งสองชุดจึงไม่สูญเสียสายพันธุ์ใด: การเพาะเลี้ยงที่เริ่มใกล้สถานะบริสุทธิ์

จะค่อย ๆ ลดลง และการเพาะเลี้ยงที่เริ่มด้วยปริมาณน้อยมาก

จะค่อย ๆ เพิ่มขึ้น และทั้งคู่ลู่เข้าสู่ส่วนผสมอยู่ร่วมกันที่เสถียรเดียวกัน