2
จุดตรึงของสายโซ่ตัวเร่งปฏิกิริยาแบบเปิด
HYC-1979 Lesson 5: Selection, Species, Will
00:00

จุดประสงค์การเรียนรู้: วิเคราะห์สายโซ่ตัวเร่งปฏิกิริยาภายใต้การจัดองค์กรคงที่ และหาจุดตรึงหกจุด (และโดยทั่วไปคือ 2n จุด) ของระบบสามสมาชิกและระบบ n สมาชิก

การจัดองค์กรคงที่และซิมเพล็กซ์ความเข้มข้น

ภายใต้การจัดองค์กรคงที่ ความเข้มข้นรวม c0 ถูกตรึงให้คงที่ จึงเป็นเรื่องธรรมชาติที่จะใช้ความเข้มข้นนอร์มัลไลซ์ สำหรับสปีชีส์ n ชนิดของสายโซ่ พิกัดเหล่านี้สอดคล้องกับ และ . ดังนั้นปริภูมิสถานะที่อนุญาตคือซิมเพล็กซ์ความเข้มข้น : สำหรับ จะมีรูปร่างเป็นสามเหลี่ยม โดยขอบและมุมแทนสถานะที่สปีชีส์หนึ่งชนิดหรือมากกว่านั้นหายไป

จุดตรึงของสายโซ่ตัวเร่งปฏิกิริยาแบบเปิด สายโซ่เปิด A → B → C: จุดตรึงหกจุดอยู่บนขอบของซิมเพล็กซ์ความเข้มข้น S₃ การจัดองค์กรคงที่: Σ ξᵢ = 1, ξᵢ ≥ 0 S₃ เส้นทางวิถี → ขอบ A B C AB BC CA สถานะภายใน ไม่ใช่จุดตรึง สายโซ่เปิด A B C ✕ ไม่มีจุดเชื่อมปิด C → A โครงสร้างของจุดตรึง จุดตรึงที่มุม · 3 จุด A, B, C — สปีชีส์ละหนึ่งชนิด จุดตรึงที่ขอบ · 3 จุด AB, BC, CA — สองสปีชีส์ต่อจุด สถานะภายใน มีสปีชีส์ทั้งสามชนิดอยู่ครบ — ไม่ใช่จุดตรึง สายโซ่ n สมาชิกทั่วไป จุดตรึงบนขอบจำนวน 2n จุด มุม + สมดุลที่ขอบ 2n นับเฉพาะจุดตรึงบนขอบเท่านั้น — เสถียรภาพจะวิเคราะห์แยกต่างหาก

เหตุใดสายโซ่เปิดจึงไม่มีจุดตรึงภายใน

จุดตรึงหาได้จากการกำหนดให้สมการอัตรานอร์มัลไลซ์เป็นศูนย์ พร้อมกับเงื่อนไข . ในสายโซ่ตัวเร่งปฏิกิริยาแบบเปิด สมาชิกตัวสุดท้ายจะไม่ถูกแปลงกลับเป็นตัวแรก เนื่องจากไม่มีจุดเชื่อมปิด เช่น C → A ด้วยเหตุนี้ สายโซ่จึงไม่อาจทำให้สปีชีส์ทั้งหมดอยู่ในสมดุลพร้อมกันได้ โดยที่ทุก . สถานะภายในที่ทุกค่าเป็นบวกไม่ใช่จุดตรึง จุดตรึงจะเกิดขึ้นเฉพาะเมื่อมีสปีชีส์อย่างน้อยหนึ่งชนิดหายไป นั่นคืออยู่บนขอบของ . นี่คือลักษณะเฉพาะของจุดตรึงของสายโซ่เปิดที่ไม่อาจรวมสมาชิกเข้าด้วยกันเป็นฟังก์ชันปิดร่วมกันได้

การนับจำนวนจุดตรึง: และ n ทั่วไป

  • สำหรับ มี จุดตรึงหกจุด: สถานะบริสุทธิ์ที่มุมสามสถานะ (A, B, C) และสมดุลที่ขอบแบบสองสปีชีส์สามจุด (AB, BC, CA)
  • สำหรับ n ทั่วไป การนับเชิงโครงสร้างได้ จุดตรึง 2n จุดซึ่งสอดคล้องกับสถานะที่มุมและสถานะผสมบนขอบ
  • การนับ 2n เป็นผลลัพธ์จากการแจกแจงจำนวนจุดตรึง ส่วนเสถียรภาพและลักษณะพลวัตจะพิจารณาแยกต่างหาก จุดตรึงบนขอบไม่จำเป็นต้องมีเสถียรภาพเสมอไป

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ: A → B → C

พิจารณาสายโซ่เปิดสามสมาชิก A → B → C ที่ไม่มีจุดเชื่อมปิด C → A การแก้เงื่อนไขจุดตรึงนอร์มัลไลซ์ภายใต้การจัดองค์กรคงที่ให้จุดตรึงบนขอบหกจุด ได้แก่ มุมสามจุด A, B และ C บวกกับสมดุลที่ขอบแบบสองสปีชีส์อีกสามจุดบน AB, BC และ CA สถานะภายในตรงกลางที่มี A, B และ C อยู่ครบทั้งสามไม่ใช่จุดตรึงของสายโซ่เปิดนี้ ภายใต้พลวัตของสายโซ่ เส้นทางวิถีย้ายเข้าหาขอบ และสมาชิกตัวสุดท้ายของสายโซ่อาจกลายเป็นผู้ครองในที่สุดในการคัดเลือกครั้งเดียวชั่วนิรันดร์

การตรวจสอบขอบเขต
ผลลัพธ์ 2n นับเฉพาะจุดตรึงบนขอบเท่านั้น มิได้ยืนยันว่าจุดตรึงบนขอบทุกจุดมีเสถียรภาพ หรือว่าระบบไม่สามารถผันผวนก่อนถึงขอบได้