6
การวิเคราะห์จุดตรึงในซิมเพล็กซ์ความเข้มข้น
HYC-1979 Lesson 4: Advantage, Word, Words
00:00

ในแบบจำลองไฮเปอร์ไซเคิลและแบบจำลองการคัดเลือกแบบองค์กรคงที่ ปริภูมิสถานะสำหรับความเข้มข้นคือซิมเพล็กซ์ความเข้มข้นแบบคงตัว = {xᵢ ≥ 0, Σᵢ xᵢ = c0} (หรือเวอร์ชันที่ปรับให้เป็นบรรทัดฐานโดยมี Σᵢ xᵢ = 1) จุดตรึงคือการกระจายความเข้มข้นที่อยู่นิ่งซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข ẋᵢ = 0 สำหรับ , 2, ..., n ณ จุดดังกล่าว การผลิต/การเพิ่มจำนวนจะสมดุลกับการสลายตัว การเจือจาง และการไหลออกสำหรับทุกสปีชีส์พอดี การวิเคราะห์จุดตรึงในซิมเพล็กซ์เปรียบเทียบผลลัพธ์เชิงการคัดเลือกโดยการระบุตำแหน่งของสถานะนิ่ง แล้วจำแนกเสถียรภาพของสถานะเหล่านั้น: มุมและหน้าสอดคล้องกับสถานะบริสุทธิ์หรือสถานะลดรูป จุดภายในแทนการอยู่ร่วมกัน และแต่ละจุดสามารถเป็นซิงก์ แซดเดิล หรือซอร์สได้

หน้าเขตแดนเป็นแบบคงตัวเสมอเมื่อสปีชีส์ที่หายไปยังคงหายไป: ถ้า xᵢ = 0 พลวัตจะรักษา xᵢ = 0 ไว้ มุมหนึ่งของ จึงเป็นจุดตรึงบริสุทธิ์ที่สปีชีส์เดียวหรือหน่วยเชื่อมโยงเดียวครอบงำ ในระบบไฮเปอร์ไซเคิล มุมเช่นนี้มักแทนผลลัพธ์ที่ล่มสลายหรือไม่ใช่ไฮเปอร์ไซเคิล จุดตรึงบนขอบและหน้าคือจุดตรึงของซิมเพล็กซ์ย่อย โดยมีเพียงสับเซตของสปีชีส์ที่ปรากฏอยู่ จุดเหล่านี้จำเป็นสำหรับการวิเคราะห์การคัดเลือกในหมู่สับเซต และสำหรับการทดสอบการบุกรุกโดยสมาชิกที่หายไป จุดตรึงภายในมีสมาชิกทั้ง n ตัวเป็นบวกและแทนการอยู่ร่วมกัน สำหรับไฮเปอร์ไซเคิล จุดภายในแบบสมมาตรคือสถานะที่สอดคล้องกันซึ่งเป็นตัวแทน候选

เสถียรภาพและผลลัพธ์เชิงการคัดเลือก

จุดตรึงเพียงอย่างเดียวไม่ได้กำหนดผลลัพธ์ เสถียรภาพเฉพาะที่ต้องอาศัยการทำให้เป็นเชิงเส้น: เมทริกซ์จาโคเบียน J ที่มีสมาชิก Jᵢⱼ = ∂ẋᵢ/∂xⱼ ประเมินที่จุดตรึง ค่าลักษณะเฉพาะของ J (จำกัดอยู่ในปริภูมิสัมผัสของซิมเพล็กซ์) จำแนกจุดนั้นเป็นซิงก์ (ค่าลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องทั้งหมดเป็นลบ: วิถีใกล้เคียงลู่เข้า), ซอร์ส (ค่าลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องทั้งหมดเป็นบวก: วิถีแยกออก) หรือแซดเดิล (บางทิศทางดึงดูด ทิศทางอื่นผลักออก) ผลลัพธ์โดยรวมยังขึ้นอยู่กับแอ่งดึงดูดและกระแสการไหลตามขอบเขต การเปรียบเทียบจุดตรึงด้วยเสถียรภาพและขนาดแอ่งจะทำนายว่าระบบแสดงการกีดกัน การอยู่ร่วมกันบางส่วน หรือการคงอยู่แบบไฮเปอร์ไซเคิลเต็มรูปแบบ

สำหรับระบบปรสิต–โฮสต์สององค์ประกอบใน S2สมการคือ

,   ,   .

ระบบมีจุดตรึงที่มุมสองจุดใน S2: สถานะปรสิตทั้งหมด (, ) และสถานะโฮสต์ทั้งหมด (, ) การทำให้เป็นเชิงเส้นใกล้ฉากหลังปรสิตให้ค่าเกณฑ์ที่ : ความเข้มข้นของโฮสต์เป็นไปตาม เมื่อ และ เมื่อ ดังนั้นอัตราส่วนของความเข้มข้นรวมต่ออัตราส่วนอัตราจะตัดสินว่าโฮสต์ที่หายไปสามารถบุกรุกสถานะปรสิตได้หรือไม่ หรือสถานะปรสิตจะผลักมันออก นี่คือตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของการที่การวิเคราะห์จุดตรึงแปลงสมดุลอัตราเฉพาะที่ให้เป็นคำทำนายเชิงการคัดเลือกระดับโลก

การวิเคราะห์จุดตรึงในซิมเพล็กซ์ความเข้มข้น S3 ซิมเพล็กซ์: จุดตรึงและประเภทเสถียรภาพเฉพาะที่ ประเภทจุดตรึง ซอร์ส — ผลักออก แซดเดิล — ผสม ซิงก์ — ดึงดูด S3 C3 บริสุทธิ์ 3 · ซอร์ส C1 บริสุทธิ์ 1 · ซอร์ส C2 บริสุทธิ์ 2 · ซอร์ส E13 แซดเดิล E23 แซดเดิล E12 แซดเดิล I การอยู่ร่วมกัน ซิงก์ที่เป็นตัวแทน หน้าเขตแดนเป็นแบบคงตัว: สปีชีส์ที่มี xi = 0 จะยังคงหายไป S2 ขอบ: ปรสิต–โฮสต์ ปรสิตทั้งหมด โฮสต์ทั้งหมด cA = c0, x = 0 cA = 0, x = c0 เกณฑ์ c0 = k/kA c0 < k/kA → โฮสต์บุกรุก (ẋ > 0) c0 > k/kA → โฮสต์สลายตัว (ẋ < 0) ความแตกต่างสำคัญ นิ่ง (ẋi = 0) ยังไม่ใช่ผลลัพธ์ มีเพียงค่าลักษณะเฉพาะของจาโคเบียนใน ปริภูมิสัมผัสของซิมเพล็กซ์เท่านั้นที่ตัดสินว่าเป็นซิงก์ แซดเดิล หรือซอร์ส
ความแตกต่างสำคัญ
จุดตรึงเป็นสถานะนิ่งตามนิยาม แต่มีเพียงการวิเคราะห์เสถียรภาพในปริภูมิสัมผัสของซิมเพล็กซ์เท่านั้นที่บอกได้ว่ามันทำหน้าที่เป็นซิงก์ แซดเดิล หรือซอร์ส ควรผสมผสาน ẋᵢ = 0 กับจาโคเบียนเสมอก่อนสรุปเกี่ยวกับการคัดเลือก