2
Неподвижные точки открытых каталитических цепей
HYC-1979 Lesson 5: Selection, Species, Will
00:00

Учебная цель: Проанализировать каталитические цепи в условиях постоянной организации и вывести шесть (а в общем случае 2n) неподвижных точек для трёхчленных и n-членных систем.

Постоянная организация и симплекс концентраций

При постоянной организации общая концентрация c0 поддерживается постоянной. Поэтому естественно использовать нормированные концентрации для n видов цепи. Эти координаты удовлетворяют условиям и . Таким образом, допустимое пространство состояний — это симплекс концентраций : при это треугольник; рёбра и вершины представляют состояния, в которых отсутствует один или несколько видов.

Неподвижные точки открытой каталитической цепи Открытая цепь A → B → C: шесть неподвижных точек лежат на границе симплекса концентраций S₃ Постоянная организация: Σ ξᵢ = 1, ξᵢ ≥ 0 S₃ траектории → граница A B C AB BC CA внутреннее состояние не является неподвижной точкой Открытая цепь A B C ✕ нет замыкающего звена C → A Структура неподвижных точек Угловые неподвижные точки · 3 A, B, C — по одному виду Рёберные неподвижные точки · 3 AB, BC, CA — по два вида Внутреннее состояние присутствуют все три вида — не является неподвижной точкой Общая n-членная цепь 2n граничных неподвижных точек вершины + рёберные равновесия 2n учитывает только граничные неподвижные точки — устойчивость анализируется отдельно.

Почему у открытых цепей нет внутренней неподвижной точки

Неподвижные точки находятся приравниванием нормированных кинетических уравнений к нулю при условии . В открытой каталитической цепи последний элемент не превращается обратно в первый: отсутствует замыкающее звено типа C → A. В результате цепь не может одновременно уравновесить все виды при каждом . Внутреннее состояние, в котором все концентрации положительны, не является неподвижной точкой. Неподвижные точки возникают только тогда, когда хотя бы один вид отсутствует, то есть на границе . Это характерный признак неподвижных точек открытой цепи, которая не может объединить свои элементы в единую замкнутую функцию.

Подсчёт неподвижных точек: и общий случай n

  • Для существует шесть неподвижных точек: три чистых угловых состояния (A, B, C) и три двухвидовых рёберных равновесия (AB, BC, CA).
  • Для общего n структурный подсчёт даёт 2n неподвижных точек, соответствующих угловым и смешанным граничным состояниям.
  • Результат 2n — это перечисление неподвижных точек. Устойчивость и динамический характер рассматриваются отдельно; граничная неподвижная точка не обязательно устойчива.

Разобранный пример: A → B → C

Рассмотрим трёхчленную открытую цепь A → B → C без замыкания C → A. Решение нормированных условий неподвижности при постоянной организации даёт шесть граничных неподвижных точек: три вершины A, B и C, а также три двухвидовых рёберных равновесия на AB, BC и CA. Центральное внутреннее состояние, в котором присутствуют A, B и C, не является неподвижной точкой для открытой цепи. В динамике цепи траектории смещаются к границе, и последний элемент цепи в конечном итоге может доминировать в результате однократного отбора.

Проверка границ применимости
Результат 2n учитывает только граничные неподвижные точки. Он не утверждает, что каждая граничная неподвижная точка устойчива, и не означает, что система не может флуктуировать до достижения границы.