초순환 성장 함수는 임의적이지 않다; 그 촉매 구조는 하나의 간결한 객체에 인코딩된다: 지수 행렬 P = (p_ik). n개의 종을 가진 초순환에서 P는 음이 아닌 정수의 n × n 행렬이다. 성분 p_ik 는 종 k가 종 i의 성장 함수에 기여하는 지수—또는 분자도—를 지정한다. 0인 성분 p_ik = 0은 종 k가 종 i에 촉매 영향을 미치지 않음을 의미하며; 양의 성분은 그 영향의 차수를 나타낸다.

이 행렬은 그것을 일반 촉매 네트워크가 아니라 초순환으로 만드는 두 가지 구조적 제약을 받는다. 첫째, 동차 조건 은 P의 모든 행이 동일한 정수 p로 합산되도록 요구한다:

∑_k p_ik = 모든 i에 대해 p.

이는 모든 종이 공통된 총 성장 차수 p를 공유한다는 것을 의미한다. 만약 한 행의 합이 다른 값이 된다면, 그 종은 서로 다른 분자도를 가지게 되고, 성장 함수는 단일 차수의 동차 함수가 되지 않을 것이다. 둘째, 순환 대칭 조건은 지수의 동시 순환 재명명 i → i+1 및 k → k+1 (mod n) 아래에서 P가 불변일 것을 요구한다. 결과적으로 p_ik = p_i+1,k+1 (mod n)이다. 이로써 P는 순환 행렬(또는 복합적인 경우 블록 순환 행렬)이 되므로, 촉매 패턴은 회전까지 고려하면 모든 구성원에 대해 동일하다.

기본 하이퍼사이클 대 복합 하이퍼사이클

지수 행렬은 하이퍼사이클을 두 가지 큰 유형으로 분류한다.

• 기본 하이퍼사이클. 가장 단순한 닫힌 순환 경우는 보통 다음을 갖는다 . 각 성장 함수는 종 자체와 그 직전 순환 선행자에 의존한다. 의 경우, 행렬은 p_ii = 1 및 p_i,i-1 = 1 (지수 mod 4)을 가지므로, 모든 행의 합은 2이다. 행렬은 희소하다: 각 행에 정확히 두 개의 1이 있고, 다른 모든 원소는 0이다.
• 복합 하이퍼사이클. 고차 순환 조직, 예를 들어 또는 각 행에 여러 개의 비영 순환 기여. 이고 인 경우, 각 행은 네 개의 단위 순환 기여를 포함할 수 있어, 순환 대칭을 유지하면서 4차 동차 성장 함수를 제공한다. 행렬은 더 조밀하거나(또는 고차 원소를 가짐) 여전히 순환 행렬이다.

분류 기준: 기본 대 복합은 단순히 종의 수가 아니라 p의 값과 P의 희소성 또는 패턴으로부터 판독된다. 4원 순환은 기본 또는 복합 일 수 있으며, 이는 촉매 지수에 달려 있다.

아래 그림은 두 행렬 유형을 대조한다. 두 패널 모두에서 행 합이 주석으로 표시되어 있고, 원형 지수 키는 P를 불변으로 유지하는 순환 재명명을 표시한다.