学習目標： 循環対称性と速度係数行列を用いて、進化基準が3員環およびn員環ハイパーサイクルへどのように一般化されるかを説明する。

2員環ハイパーサイクルでは、固定点解析は結合定数の比較に帰着する。3員以上の場合も、同じ論理が速度係数行列の構造を通じて一般化される。鍵となるのは 循環対称性である。すなわち、各構成要素は環内の直前の構成要素によって強化されるため、行列は巡回行列となる。

3員の場合、速度係数行列は次のようになる。 各行は第1行の巡回シフトである。これは、構造的に特権的な構成要素が存在しないことを意味する。対角成分 は自己／基本項であり、 および は順方向および逆方向の循環結合である。N個の構成要素の場合も、同じパターンが次を巡回する。 巡回行列。

一般化された進化基準

進化基準は次を通じて一般化される。 すなわちKの最大固有値である。孤立したペアごとの効果ではなく、 が循環結合パターン全体の統合的な効果を符号化する。ハイパーサイクルの構成は、その が同じ制約下の競合する代替案を上回る場合に有利となる。

固有値近似は、次の条件が成り立つ限り有効である。 （表2参照）。より高次の近似は次を用いて得ることができる。 いずれの表現形式であってもよい。式(16)〜(18)はそれに応じて変化する。

より一般的な非線形／飽和速度論は、次の速度で表すことができる。 または したがって、 基準は線形／弱結合極限である。