この節は、ハイパーサイクルの固定点解析からその長期的ダイナミクスへの移行を示す。定常状態は可能な平衡を記述するが、選択と進化は物質の一般的性質ではなく、特定の触媒的・自己触媒的・ハイパーサイクル的動力学特性が存在する場合にのみ現れる。

定常状態解析だけでは不十分な理由

固定点解析は濃度シンプレックス内の中心平衡点と角の平衡点を特定する。局所安定性は平衡点近傍で小さな摂動が減衰するか増大するかを教える。それ自体ではハイパーサイクルの漸近的な運命を決めない：局所的に安定な固定点は他のアトラクターと共存しうるし、固定点はパラメータ変化とともに安定性を失いうる。

基本ハイパーサイクル：定常状態とリミットサイクル

基本ハイパーサイクルはその次元 n、その速度定数 、および総濃度 c₀によって制御される。低次元では、対称なハイパーサイクルは安定な中心定常状態に落ち着くことがある。次元 n ≥ 5 では、中心固定点が安定性を失い、軌道がリミットサイクルに近づいて持続的な濃度振動を生じうる。等しくない 値はサイクルを濃度パルスへと歪め、時間平均濃度を変えうる一方、 c₀ は濃度スケールを設定し、実効的な動力学領域をシフトさせうる。

翻訳共役ハイパーサイクル

翻訳共役ハイパーサイクルは、ポリヌクレオチド複製とポリペプチド合成の間の結合を、複合体形成や会合定数を含めて付加する。低濃度極限では基本ハイパーサイクル挙動に近似する。高濃度または飽和極限では、実効ダイナミクスは単純な触媒サイクル挙動へと縮約されうる。この領域依存性が中心的である：同じネットワークでも に応じてハイパーサイクル的にも単なる触媒的にも見えうる。 c₀.

局所平衡から大域的アトラクタへ

したがって、定性的な動態は次によって形作られる： n, 、および c₀。中心的な移行は、定常状態解析から長期動態への移行である：まずどの平衡が存在するかを問い、次に系が実際にそこへ落ち着くのか、それとも振動・パルス化するのか、あるいは分岐近傍で臨界的に減速するのかを問う。

この移行が、リミットサイクル、ホップ分岐、臨界減速、濃度パルス、寄生者／統合の限界に関する以降の解析を動機づける。