下で 一定組織化 ハイパーサイクルの総濃度は固定値cに保たれる₀ので、すべての許容状態は濃度単体上にある + … + 。その単体上の状態が 固定点 であるのは、定常条件 dxᵢ/dt = 0 がすべてのメンバー 、…、nについて同時に成り立つときまさにそのときである。単体の制約だけではどの状態が許容されるかしか言えない — すべての成長率がゼロになることが、それらの中から平衡を選び出すのである。

この条件をn員ハイパーサイクルに課すと、驚くほど単純な固定点集合が得られる。 中心固定点 は x̄₀ = (c₀/n)(1, …, 1)ᵀ であり、n種のそれぞれが同一の濃度c₀/nを持ち、n個のシェアの和はちょうどc₀となる。全座標が等しいので、この点は単体の 内部 にあり、置換対称である:サイクルの種を再ラベル付けしても変わらない。これは完全な協力の平衡である — どのメンバーも他より優遇されない。

1つの中心点とn個の隅点

• 中心固定点: x̄₀ = (c₀/n)(1, …, 1)ᵀ — 単体の内部にある等濃度・置換対称な平衡で、全メンバーが共存する。
• n個の角固定点各メンバーに1つずつ、その種が濃度cにある状態₀ 残りの種はすべてゼロである。各種は原理的に唯一の生存者になり得る。
• 角は純粋状態であるすなわち単体の頂点に位置するため、統合された協力的な群集ではなく、単一の支配種を表す。

計算例:

3メンバーのハイパーサイクルでは、濃度単体は三角形である。中心固定点は(c₀/3, c₀/3, c₀/3)であり、3つの角固定点は(c₀, 0, 0), (0, c₀, 0)および(0, 0, c₀)である。したがってこのステップに関連する固定点集合は、1つの中心等濃度平衡とn個の純粋状態の角平衡、合計1 + n個の点を含み、この例では4つである。角の存在は系の対称性から直ちに導かれるが、内部点が実際に軌道を引き付けるかどうかはnと系のノーマルモードに依存し、これは別のステップで解析される。