ハイパーサイクル成長関数は恣意的ではない;その触媒構造は単一のコンパクトな対象に符号化される: 指数行列 P = (p_ik)。n 種のハイパーサイクルでは、P は非負整数の n × n 行列である。エントリ p_ik は、種 k が種 i の成長関数に寄与する指数 — すなわち分子度 — を指定する。ゼロのエントリ p_ik = 0 は種 k が種 i に触媒影響を持たないことを意味し、正のエントリはその影響の次数を与える。

この行列は、それを一般的な触媒ネットワークではなくハイパーサイクルにする 2 つの構造的制約に従う。第一に、 同次条件 は、P の各行が同じ整数 p に総和することを要求する:

∑_k p_ik = p がすべての i について。

これはすべての種が共通の総成長次数 p を共有することを意味する。もし 1 つの行が異なる値に総和すれば、種は異なる分子度を持ち、成長関数は単一の次数で同次にならない。第二に、 環状対称性 条件は、P が添字の同時環状再ラベリング i → i+1 および k → k+1 (mod n)の下で不変であることを要求する。したがって p_ik = p_i+1,k+1 (mod n)。これにより P は巡回行列(複合の場合はブロック巡回行列)となり、触媒パターンは回転を除いてすべてのメンバーで同一になる。

基本ハイパーサイクルと複合ハイパーサイクル

指数行列はハイパーサイクルを 2 つの大きな型に分類する。

• 基本ハイパーサイクル。 最も単純な閉じた環状の場合は通常 を持つ。各成長関数は種自身とその直前の環状前駆体に依存する。 の場合、行列は p_ii = 1 および p_i,i-1 = 1(添字は mod 4)を持ち、各行は 2 に総和する。行列は疎である:各行にちょうど 2 つの 1 があり、他のエントリはすべてゼロである。
• 複合ハイパーサイクル。 高次の環状組織、例えば または各行に複数の非ゼロの環状寄与。 および の場合、各行は 4 つの単位環状寄与を含むことができ、環状対称性を保ちながら四次同次成長関数を与える。行列はより密(または高次のエントリを持つ)だが巡回のままである。

分類基準: 基本か複合かは、単に種の数からではなく、p の値と P の疎性またはパターンから読み取る。4 メンバーの環は基本でありうる または複合 、触媒指数に依存する。

下の図は2つの行列型を対比している。両パネルとも行和が注記され、円形のインデックスキーはPを不変に保つ巡回的再ラベル付けを示す。