ある 開いた触媒鎖 は触媒的影響の一方向の流れのみを支える：A が B を触媒し B が C を触媒するなら、情報は前方へ伝播するが決してフィードバックしない。一定組織のもとでは、そのような鎖には内部の引き付け状態がなく、不動点は濃度単体の頂点へ移動するため、最後のメンバーが最終的に支配する。系は共同の協調的機能を維持する代わりに 一度きりの 選択を行う。
環状の閉環：カスケードからハイパーサイクルへ
環状の閉環 は、欠けていた唯一のフィードバック辺、すなわち末端メンバーから最初のメンバーへの辺を加える。鎖 A → B → C を閉じると C → A の触媒リンクが供給され、サイクル A → B → C → A が生じる。各化学種は今や同時に他者の上流と下流に位置し、トポロジーはもはや有向直線ではなく ハイパーサイクルとなる：メンバーが協調的に結合され、したがって情報を単に伝えるだけでなく統合できる環状の触媒配置である。開いた鎖は線形カスケードのままであり、閉じた環はハイパーサイクルとなる。
環上の成長関数
単純な n 員ハイパーサイクルでは、種 i の成長は種 i − 1 によって触媒され、添字は n を法としてとられるため、最初の種は最後の種によって触媒されループが閉じる。結果として生じる成長項は非線形で 二次であり、xixi−1の形をとる。一定組織のもとでは、これらの項は総濃度を一定に保つ希釈／流束項 Φ と釣り合うため、相対濃度は単体上で発展する。
形式的には、ハイパーサイクル的成長関数は 指数行列 Pによって符号化される：行 i は種 i の成長関数に現れる濃度とそのべきを記録する。環状の閉環はまさに巡回要素 P1,n = 1（巡回する i, i − 1 ブロックの折り返しメンバー）であり、この要素がハイパーサイクルを開いたまたは分岐した触媒ネットワークと区別する。ハイパーサイクル的成長関数は同次条件 Σk pik = p を満たし、その指数によって初等的
ループが閉じているため、系の定性的挙動は独立に選択される単位の集まりではなく、協調的で情報を統合するものとなる：結合した環は単体の 1 つの頂点を支配へと駆り立てる代わりに、すべてのメンバーのコヒーレントで波状の成長を維持できる。
開いた鎖と閉じたハイパーサイクル
左：触媒作用が一方向に流れる開いた触媒鎖 A → B → C で、破線の欠けた C → A の辺によりカスケードは閉環をもたない。右：同じ 3 メンバーを環 A → B → C → A に閉じたもの。実線の C → A の辺は「環状の閉環」とラベル付けされ、カスケードをハイパーサイクルに変換する。付随する指数行列 P は、各化学種がその前駆体（mod n）によって触媒され、自己複製の対角 1 とループを完成させる巡回 P1,
