Impulsi di concentrazione da costanti di velocità diverse

In un iperciclo di dimensione n ≥ 5 in condizioni di organizzazione costante, le concentrazioni si evolvono secondo le equazioni elementari dell'iperciclo. Il parametro è la costante di velocità catalitica per la produzione della specie da parte del suo predecessore x_i−1 nell'ordine ciclico → → … → → .

(k_i x_i−1 − Φ), _j k_j x_j x_j−1, , con indici modulo n.

La simmetria rotazionale e la sua rottura

Quando tutte le costanti di velocità catalitica sono uguali, = … = , l'iperciclo possiede un ciclo limite simmetrico a onda rotante. Ogni specie mostra un impulso identico e gli impulsi sono equispaziati in fase. L'intero schema ruota attorno al ciclo catalitico senza cambiare forma.

Costanti di velocità diverse rompono questa simmetria rotazionale. L'ordine ciclico degli impulsi rimane → → … → → , ma altezza, larghezza e ritardo di fase dell'impulso diventano specifici per ogni specie. Una specie con un maggiore vantaggio catalitico raggiunge una concentrazione di picco più alta. L'ordine dei picchi segue comunque il ciclo catalitico.

I ritardi di fase codificano i passi limitanti della velocità

Le differenze di fase non devono essere necessariamente uniformi. Un passo veloce accorcia il ritardo tra l'impulso del predecessore e quello del prodotto; un passo lento lo allunga. La tempistica degli impulsi codifica quindi quale passo catalitico è relativamente limitante. Ad esempio, se è grande, l'impulso di segue con un ritardo più breve rispetto al caso simmetrico.

Concentrazioni medie temporali

Le concentrazioni medie temporali obbediscono a ⟨⟩ = ⟨Φ⟩ / k_i+1. Il livello medio di una specie dipende quindi dalla costante di velocità a valle, non semplicemente dalla sua altezza di picco. Un impulso alto può coesistere con una media temporale modesta se il passo catalitico successivo è veloce.

Errore comune. Un valore elevato di innalza il picco di ma non innalza di per sé ⟨⟩. La media è governata da k_i+1 e dal flusso di selezione globale Φ.

Esempio: iperciclo a cinque membri

Si consideri con . L'impulso di tende a raggiungere un picco più alto e a seguire con un ritardo più breve. La sua media non è semplicemente proporzionale al suo picco. La relazione ⟨⟩ = ⟨Φ⟩ / mostra che il livello medio di è accoppiato alla velocità a valle che guida .

Gli impulsi rimangono accoppiati tramite Φ e l'organizzazione costante. Costanti diverse modulano l'organizzazione iperciclica senza distruggerne la topologia ciclica.

Impulsi asimmetrici dell'iperciclo

Serie temporale degli impulsi di concentrazione per un iperciclo a cinque membri con costanti catalitiche kᵢ diverse. L'ordine ciclico x 1 → x 2 → … → x 5 → x 1 è preservato, ma ogni specie mostra un impulso di altezza, larghezza e ritardo di fase diversi; le linee tratteggiate indicano le concentrazioni medie temporali ⟨xᵢ⟩. Il riquadro interno confronta le altezze dei picchi con i livelli medi temporali, mostrando che un impulso alto può avere una media modesta.

DOMANDA 1

Nel modello dell'iperciclo (k_ix_i−1 − Φ), qual è il ruolo del flusso di selezione globale Φ?

È la produzione catalitica totale che impone l'organizzazione costante,

_j k_jx_jx_j−1.

È la concentrazione media dell'iperciclo.

È un tasso di diluizione esterno indipendente dalle concentrazioni.

È la derivata temporale della concentrazione totale.

DOMANDA 2

Se tutte le costanti di velocità sono uguali in un iperciclo, qual è la forma del ciclo limite?

Uno stato stazionario senza oscillazioni.

Un attrattore caotico senza ordine ripetitivo.

Un ciclo di dominanza di una singola specie.

Un ciclo simmetrico a onda rotante con impulsi identici e sfasati uniformemente.

DOMANDA 3

Con valori diversi di , quale affermazione sull'ordine dei picchi e sui ritardi di fase è corretta?

Un passo lento accorcia il ritardo tra l'impulso del predecessore e quello del prodotto.

L'ordine dei picchi è casuale; i ritardi di fase sono sempre uniformi.

L'ordine dei picchi segue

→

→ … →

→

; un passo veloce accorcia il ritardo tra l'impulso del predecessore e quello del prodotto.

I picchi si verificano simultaneamente per tutte le specie perché Φ le sincronizza.

DOMANDA 4

Quale relazione fornisce correttamente la concentrazione media temporale ⟨⟩ in un iperciclo oscillante?

⟨

⟩ è indipendente da Φ e da

⟨

⟩ =

/ ⟨Φ⟩

⟨

⟩ = ⟨Φ⟩ / k_i+1

⟨

⟩ =

⟨Φ⟩

DOMANDA 5

Una specie ha un valore elevato di ma una concentrazione media temporale relativamente bassa. Qual è la spiegazione più coerente?

Il flusso globale Φ deve essere nullo.

Il suo picco e la sua media devono essere uguali, quindi i dati sono impossibili.

La sua media dipende dal valore a valle di k_i+1; un passo veloce a valle può mantenere ⟨

⟩ bassa nonostante un picco alto.

Un valore elevato di

massimizza sempre la media temporale.

Caso di studio: costanti di velocità diverse in un iperciclo a cinque membri

Interpretare i dati delle serie temporali e delle medie temporali di un iperciclo perturbato.

Un iperciclo a organizzazione costante con ha costanti di velocità di riferimento che producono un ciclo limite simmetrico. Sperimentalmente, viene raddoppiata mentre , , , e rimangono ai valori di riferimento. La serie temporale mostra che l'impulso di raggiunge un picco più alto e segue con un ritardo più breve. I livelli medi temporali tratteggiati rivelano che ⟨⟩ scende al di sotto del suo valore di riferimento simmetrico, mentre ⟨⟩ cambia solo modestamente.

Spiegare perché l'impulso di si innalza e perché il ritardo di fase – si accorcia quando viene raddoppiata.

Risposta:

Raddoppiare aumenta la produzione catalitica locale di da , quindi l'impulso di raggiunge un picco più alto. Un passo più veloce accorcia anche il ritardo tra l'impulso del precursore e l'impulso di del prodotto, perché viene prodotto più rapidamente una volta che è presente. L'ordine ciclico → → … è preservato.

Usare ⟨⟩ = ⟨Φ⟩/k_i+1 per spiegare perché ⟨⟩ può diminuire nonostante rimanga invariata.

Risposta:

La media di è ⟨⟩ = ⟨Φ⟩/k₂. Raddoppiare aumenta il denominatore e, sebbene ⟨Φ⟩ possa adattarsi, il risultato è una ⟨⟩ inferiore. Quindi la concentrazione media temporale di x₁è controllata dalla costante di velocità a valle , non dalla sua stessa né dalla sua altezza di picco.