Punti Fissi delle Catene Catalitiche Aperte

Obiettivo di Apprendimento: Analizzare le catene catalitiche in condizioni di organizzazione costante e ricavare i sei (e in generale 2n) punti fissi dei sistemi a tre membri e a n membri.

Organizzazione Costante e il Simplesso delle Concentrazioni

In condizioni di organizzazione costante la concentrazione totale c₀ è mantenuta fissa. È quindi naturale utilizzare le concentrazioni normalizzate per le n specie della catena. Queste coordinate soddisfano e . Lo spazio degli stati ammessi è quindi il simplesso delle concentrazioni : per è un triangolo; i lati e i vertici rappresentano stati in cui una o più specie sono assenti.

Perché le Catene Aperte Non Hanno Punti Fissi Interni

I punti fissi si trovano ponendo a zero le equazioni normalizzate delle velocità di reazione, imponendo al contempo . In una catena catalitica aperta l'ultimo membro non viene riconvertito nel primo: non esiste un collegamento di chiusura come C → A. Di conseguenza, la catena non può bilanciare simultaneamente tutte le specie con ogni . Lo stato interno con tutte le specie positive non è un punto fisso. I punti fissi si verificano solo quando almeno una specie è assente, cioè sul bordo di . Questa è la firma dei punti fissi di una catena aperta che non riesce a integrare i suoi membri in una funzione congiunta e chiusa.

Conteggio dei Punti Fissi: e n Generale

Per , ci sono sei punti fissi: tre stati puri ai vertici (A, B, C) e tre equilibri a due specie sui lati (AB, BC, CA).
Per n generico, il conteggio strutturale è di 2n punti fissi, corrispondenti a stati ai vertici e a stati misti sul bordo.
Il conteggio 2n è un risultato di enumerazione dei punti fissi. La stabilità e il carattere dinamico sono trattati separatamente; un punto fisso sul bordo non è necessariamente stabile.

Esempio Svolto: A → B → C

Si consideri una catena aperta a tre membri A → B → C senza chiusura C → A. Risolvendo le condizioni normalizzate dei punti fissi in condizioni di organizzazione costante si ottengono i sei punti fissi sul bordo: i tre vertici A, B e C, più i tre equilibri a due specie sui lati AB, BC e CA. Lo stato interno centrale con A, B e C tutte presenti non è un punto fisso per la catena aperta. Nella dinamica della catena, le traiettorie migrano verso il bordo e l'ultimo membro della catena può alla fine dominare in una selezione una volta per tutte.

Verifica di Portata

Il risultato 2n conta solo i punti fissi sul bordo. Non afferma che ogni punto fisso sul bordo sia stabile, né che il sistema non possa fluttuare prima di raggiungere il bordo.

Punti Fissi delle Catene Catalitiche Aperte

Per una catena aperta a tre membri A → B → C, i sei punti fissi si trovano sul bordo del simplesso delle concentrazioni S 3: tre vertici (A, B, C puri) e tre equilibri sui lati AB, BC e CA. Il punto interno centrale con tutte e tre le specie presenti non è un punto fisso perché alla catena manca il collegamento di chiusura C → A.

DOMANDA 1

In condizioni di organizzazione costante, quale grandezza è mantenuta fissa per una catena catalitica a n membri?

Solo la costante di velocità della prima reazione

Solo la concentrazione individuale della specie finale

La somma di tutte le costanti di velocità

La concentrazione totale c₀

DOMANDA 2

Quale insieme di condizioni definisce lo spazio degli stati ammessi per le concentrazioni normalizzate ξᵢ?

ξᵢ ≥ 0 e Σ ξᵢ = 1

ξᵢ ≥ 0 e Σ ξᵢ = c₀

ξᵢ ≤ 0 e Σ ξᵢ = 0

ξᵢ arbitrario e Σ ξᵢ = 1

DOMANDA 3

Perché una catena catalitica aperta generalmente non ha un punto fisso interno con tutte le specie positive?

Perché la catena non ha un collegamento catalitico di chiusura che riporti l'ultimo membro al primo

Perché ogni specie viene convertita in ogni altra specie

Perché la concentrazione totale c₀ può variare senza limiti

Perché le equazioni delle velocità sono lineari e hanno sempre una soluzione interna

DOMANDA 4

Per una catena aperta a tre membri, quali sono i sei punti fissi?

Uno stato interno e cinque stati sul bordo

Due stati ai vertici e quattro stati sui lati

Sei stati interni con tutte e tre le specie presenti

Tre stati puri ai vertici e tre equilibri a due specie sui lati

DOMANDA 5

Per una catena catalitica aperta generica a n membri, quanti punti fissi si prevedono secondo il conteggio strutturale?

n² punti fissi

2ⁿ punti fissi

2n punti fissi

n punti fissi

Caso di Studio: Selezione sul Bordo in una Catena Aperta a Tre Membri

Leggi lo scenario e rispondi a entrambe le domande.

Una protocellula di laboratorio mantiene una concentrazione totale costante c₀ di tre specie catalitiche A, B e C. Le reazioni formano una catena aperta A → B → C, senza alcuna reazione che riporti C ad A. Il sistema è modellato in condizioni di organizzazione costante, quindi le concentrazioni normalizzate

, e

soddisfano

e ogni ξᵢ ≥ 0. Lo sperimentatore vuole sapere se una coesistenza stabile di tutte e tre le specie possa emergere come punto fisso delle equazioni normalizzate delle velocità.

Scrivi le condizioni generali dei punti fissi per questo sistema normalizzato a tre specie e spiega perché non esiste alcuna soluzione con

, e

esistente.

Risposta:
Poni a zero le equazioni normalizzate delle velocità: dξ_A/dt = 0, dξ_B/dt = 0, dξ_C/dt = 0, insieme al vincolo

. Poiché la catena è aperta, non c'è conversione da C ad A che chiuda il ciclo. Un punto fisso completamente interno richiederebbe un flusso ciclico bilanciato con tutte e tre le specie presenti e tutte le velocità contemporaneamente nulle; il collegamento di chiusura mancante impedisce tale bilanciamento. Pertanto qualsiasi punto fisso deve avere almeno una ξᵢ = 0, quindi si trova sul bordo del simplesso, non nell'interno con tutte le specie positive.

Enumera i sei punti fissi previsti per questa

catena aperta e classifica ciascuno come stato di vertice o di lato.

Risposta:
I sei punti fissi sul bordo sono: (1) vertice A: (

) = (1, 0, 0); (2) vertice B: (0, 1, 0); (3) vertice C: (0, 0, 1); (4) equilibrio sul lato AB:

con

; (5) equilibrio sul lato BC:

con

; (6) equilibrio sul lato CA:

con

. I vertici sono stati puri a singola specie, mentre gli stati sui lati sono equilibri a due specie con la specie rimanente assente. Lo stato interno centrale con tutte e tre le specie positive non è un punto fisso per questa catena aperta.