Titik Tetap Rantai Katalitik Terbuka

Tujuan Pembelajaran: Menganalisis rantai katalitik pada organisasi konstan dan menurunkan enam (dan secara umum 2n) titik tetap dari sistem beranggota tiga dan beranggota n.

Organisasi Konstan dan Simpleks Konsentrasi

Pada organisasi konstan, konsentrasi total c₀ dipertahankan tetap. Oleh karena itu wajar untuk menggunakan konsentrasi ternormalisasi untuk n spesies rantai. Koordinat-koordinat ini memenuhi dan . Ruang keadaan yang diizinkan dengan demikian adalah simpleks konsentrasi : untuk bentuknya segitiga; sisi dan sudut merepresentasikan keadaan dengan satu atau lebih spesies tidak ada.

Mengapa Rantai Terbuka Tidak Memiliki Titik Tetap Interior

Titik tetap ditemukan dengan menetapkan persamaan laju ternormalisasi sama dengan nol sambil memberlakukan . Pada rantai katalitik terbuka, anggota terakhir tidak dikonversi kembali menjadi anggota pertama: tidak ada penghubung penutup seperti C → A. Akibatnya, rantai tidak dapat menyeimbangkan semua spesies secara simultan dengan setiap . Keadaan interior yang semuanya positif bukanlah titik tetap. Titik tetap hanya terjadi ketika setidaknya satu spesies tidak ada, yaitu pada batas dari . Inilah ciri titik tetap dari rantai terbuka yang tidak dapat mengintegrasikan anggotanya menjadi fungsi bersama yang tertutup.

Menghitung Titik Tetap: dan n Secara Umum

Untuk , terdapat enam titik tetap: tiga keadaan sudut murni (A, B, C) dan tiga kesetimbangan sisi dua spesies (AB, BC, CA).
Untuk n secara umum, jumlah strukturalnya adalah 2n titik tetap, yang bersesuaian dengan keadaan sudut dan keadaan batas campuran.
Perhitungan 2n adalah hasil enumerasi titik tetap. Kestabilan dan karakter dinamika dibahas secara terpisah; titik tetap batas belum tentu stabil.

Contoh Pengerjaan: A → B → C

Perhatikan rantai terbuka beranggota tiga A → B → C tanpa penutupan C → A. Menyelesaikan kondisi titik tetap ternormalisasi pada organisasi konstan menghasilkan enam titik tetap batas: tiga sudut A, B, dan C, ditambah tiga kesetimbangan sisi dua spesies pada AB, BC, dan CA. Keadaan interior pusat dengan A, B, dan C semuanya ada bukanlah titik tetap bagi rantai terbuka. Di bawah dinamika rantai, lintasan bergerak menuju batas, dan anggota terakhir rantai pada akhirnya dapat mendominasi dalam seleksi sekali untuk selamanya.

Pemeriksaan Cakupan

Hasil 2n hanya menghitung titik tetap batas. Hasil ini tidak menyatakan bahwa setiap titik tetap batas stabil, maupun bahwa sistem tidak dapat berfluktuasi sebelum mencapai batas.

Titik Tetap Rantai Katalitik Terbuka

Untuk rantai terbuka beranggota tiga A → B → C, keenam titik tetap terletak pada batas simpleks konsentrasi S₃: tiga sudut (A, B, C murni) dan tiga kesetimbangan sisi pada AB, BC, dan CA. Titik interior pusat dengan ketiga spesies ada bukanlah titik tetap karena rantai tidak memiliki penghubung penutup C → A.

PERTANYAAN 1

Pada organisasi konstan, besaran manakah yang dipertahankan tetap untuk rantai katalitik beranggota n?

Hanya konstanta laju reaksi pertama

Hanya konsentrasi individual spesies akhir

Jumlah semua konstanta laju

Konsentrasi total c₀

PERTANYAAN 2

Himpunan kondisi manakah yang mendefinisikan ruang keadaan yang diizinkan untuk konsentrasi ternormalisasi ξᵢ?

ξᵢ ≥ 0 dan Σ ξᵢ = 1

ξᵢ ≥ 0 dan Σ ξᵢ = c₀

ξᵢ ≤ 0 dan Σ ξᵢ = 0

ξᵢ sembarang dan Σ ξᵢ = 1

PERTANYAAN 3

Mengapa rantai katalitik terbuka umumnya tidak memiliki titik tetap interior yang semuanya positif?

Karena rantai tidak memiliki penghubung katalitik penutup yang mengembalikan anggota terakhir ke anggota pertama

Karena setiap spesies dikonversi menjadi setiap spesies lainnya

Karena konsentrasi total c₀ diizinkan bervariasi tanpa batas

Karena persamaan laju bersifat linear dan selalu memiliki solusi interior

PERTANYAAN 4

Untuk rantai terbuka beranggota tiga, apa sajakah keenam titik tetapnya?

Satu keadaan interior dan lima keadaan batas

Dua keadaan sudut dan empat keadaan sisi

Enam keadaan interior dengan ketiga spesies ada

Tiga keadaan sudut murni dan tiga kesetimbangan sisi dua spesies

PERTANYAAN 5

Untuk rantai katalitik terbuka beranggota n secara umum, berapa banyak titik tetap yang diharapkan menurut perhitungan struktural?

n² titik tetap

2ⁿ titik tetap

2n titik tetap

n titik tetap

Studi Kasus: Seleksi Batas pada Rantai Terbuka Beranggota Tiga

Bacalah skenario dan jawab kedua pertanyaan.

Sebuah protosel laboratorium mempertahankan konsentrasi total konstan c₀ dari tiga spesies katalitik A, B, dan C. Reaksi-reaksi tersebut membentuk rantai terbuka A → B → C, tanpa reaksi yang mengembalikan C ke A. Sistem dimodelkan pada organisasi konstan, sehingga konsentrasi ternormalisasi

, dan

memenuhi

dan setiap ξᵢ ≥ 0. Eksperimenter ingin mengetahui apakah koeksistensi stabil dari ketiga spesies dapat muncul sebagai titik tetap dari persamaan laju ternormalisasi.

Tuliskan kondisi titik tetap umum untuk sistem tiga spesies ternormalisasi ini dan jelaskan mengapa tidak ada solusi dengan

, dan

yang ada.

Jawaban:
Tetapkan persamaan laju ternormalisasi sama dengan nol: dξ_A/dt = 0, dξ_B/dt = 0, dξ_C/dt = 0, bersama dengan kendala

. Karena rantainya terbuka, tidak ada konversi C → A untuk menutup siklus. Titik tetap yang sepenuhnya interior akan memerlukan aliran siklik yang seimbang dengan ketiga spesies ada dan semua laju nol secara simultan; penghubung penutup yang hilang mencegah keseimbangan semacam itu. Oleh karena itu, setiap titik tetap harus memiliki setidaknya satu ξᵢ = 0, sehingga terletak pada batas simpleks, bukan di interior yang semuanya positif.

Enumerasikan keenam titik tetap yang diharapkan untuk

rantai terbuka ini dan klasifikasikan masing-masing sebagai keadaan sudut atau keadaan sisi.

Jawaban:
Keenam titik tetap batas tersebut adalah: (1) sudut A: (

) = (1, 0, 0); (2) sudut B: (0, 1, 0); (3) sudut C: (0, 0, 1); (4) kesetimbangan sisi AB:

dengan

dan

; (5) kesetimbangan sisi BC:

dengan

dan

; (6) kesetimbangan sisi CA:

dengan

dan

. Sudut-sudutnya adalah keadaan murni satu spesies, sedangkan keadaan sisinya adalah kesetimbangan dua spesies dengan spesies sisanya tidak ada. Keadaan interior pusat dengan ketiga spesies positif bukanlah titik tetap bagi rantai terbuka ini.