Pada kondisi organisasi konstan, konsentrasi total spesies molekuler dijaga tetap: ∑i. Kendala ini menghilangkan satu derajat kebebasan, sehingga ruang keadaan berupa simpleks konsentrasi. Persamaan seleksi kemudian menjelaskan bagaimana komposisi ternormalisasi / ∑k berkembang, bukan bagaimana ukuran total populasi bertambah.
Dalam bentuk fluks ternormalisasi, persamaan seleksi adalah:
· ( / ∑k)
Di sini, adalah fluks total (atau produktivitas) di bawah kendala tersebut. Seleksi berperan sebagai redistribusi dalam total yang tetap: spesies dengan nilai selektif lebih tinggi atau produktivitas berlebih akan menambah pangsanya, sementara spesies bernilai lebih rendah terdilusi tanpa mengubah c0.
Karena ∑i, hanya n − 1 konsentrasi relatif yang independen. Dalam limit deterministik tanpa mutasi, batas-batas simpleks bersifat invarian: jika pada awalnya, nilainya tetap nol. Dengan demikian titik tetap sering terletak di titik sudut atau muka berdimensi lebih rendah.
Transformasi afin pada sistem koordinat x dapat memisahkan skala total dari frekuensi relatif, menghasilkan variabel ter-transformasi dan persamaan yang disederhanakan untuk dinamika komposisi. Penurunannya berlangsung sebagai berikut:
“Cara melakukan subdivisi baru ini disarankan oleh struktur persamaan diferensial (6). Hal ini sebenarnya bersesuaian dengan transformasi afin pada sistem koordinat x, yang sudah dikenal dari teori persamaan diferensial linear. Diperoleh himpunan persamaan baru untuk variabel populasi ter-transformasi yi yang berbunyi:”
Sebagai contoh, dengan dua spesies dan , kita memperoleh . Pada segmen garis , jika spesies 1 memiliki nilai selektif lebih besar daripada spesies 2, aliran bergerak menuju , . Konsentrasi total tetap 1, menggambarkan seleksi sebagai perubahan komposisi pada organisasi konstan.
Diagram Simpleks Konsentrasi
Simpleks komposisi yang mungkin pada organisasi konstan. Titik sudut mewakili spesies murni (x 1, x 2, x 3). Bagian dalam mewakili campuran. Panah menunjukkan aliran seleksi menuju titik sudut dengan nilai selektif tertinggi, sementara konsentrasi total tetap pada c 0.
PERTANYAAN 1
Apa yang diwakili oleh kendala ∑i dalam persamaan seleksi pada organisasi konstan?
Suatu sistem yang hanya mengandung satu spesies.
Konsentrasi total semua spesies yang tetap.
Aturan bahwa setiap spesies harus tumbuh dengan laju yang sama.
Populasi total yang tumbuh tanpa batas.
✅ Benar!
Ya. Organisasi konstan menjaga konsentrasi total tetap, sehingga sistem berkembang pada simpleks dengan total yang konstan.
❌ Salah
Organisasi konstan menetapkan jumlah konsentrasi; ini tidak berarti pertumbuhan tanpa batas, spesies tunggal, atau laju pertumbuhan yang sama.
PERTANYAAN 2
Dalam bentuk fluks ternormalisasi · ( / ∑k), apa yang diwakili oleh / ∑k mewakili?
Laju pertumbuhan intrinsik spesies i.
Porsi relatif spesies i.
Fluks total seluruh sistem.
Konsentrasi absolut spesies i.
✅ Benar!
Benar. Rasio ini adalah kelimpahan relatif, atau porsi selektif, dari spesies i.
❌ Salah
Ini adalah besaran ternormalisasi, bukan konsentrasi absolut atau laju; ini mengukur fraksi total yang dimiliki oleh spesies i.
PERTANYAAN 3
Mengapa transformasi afin pada sistem koordinat x menyederhanakan persamaan seleksi?
Ini menambahkan lebih banyak variabel independen.
Ini menetapkan setiap nilai selektif menjadi sama.
Ini menghilangkan kendala pada konsentrasi total.
Ini memisahkan skala total dari frekuensi relatif.
✅ Benar!
Benar. Transformasi afin memisahkan skala keseluruhan dari dinamika komposisi, menghasilkan persamaan yang lebih sederhana untuk variabel ter-transformasi .
❌ Salah
Transformasi tersebut tidak menghilangkan kendala atau menyamakan nilai selektif; ia mengubah koordinat untuk memisahkan skala dari komposisi.
PERTANYAAN 4
Pada organisasi konstan, jika spesies 1 memiliki nilai selektif lebih besar daripada spesies 2 dalam sistem dua spesies dengan , apa yang terjadi pada komposisi seiring waktu?
naik menuju 1 dan turun menuju 0.
dan keduanya naik bersama-sama.
turun menuju 0 dan naik menuju 1.
Komposisi tetap konstan sepanjang waktu.
✅ Benar!
Benar. Seleksi menguntungkan spesies dengan nilai selektif lebih tinggi, sehingga pangsanya bertambah sementara yang lain terdilusi, menjaga total tetap 1.
❌ Salah
Totalnya tetap, sehingga satu spesies tidak dapat bertambah tanpa yang lain berkurang. Spesies yang lebih unggul memperoleh porsi lebih besar seiring waktu.
PERTANYAAN 5
Dalam limit deterministik tanpa mutasi, apa yang benar tentang batas-batas simpleks?
Konsentrasi total bergeser seiring waktu.
Spesies yang tidak ada dapat muncul kemudian.
Semua spesies akhirnya hilang bersama-sama.
Jika pada awalnya, nilainya tetap nol.
✅ Benar!
Ya. Tanpa mutasi, spesies yang tidak ada tidak dapat muncul, sehingga muka-muka simpleks bersifat invarian.
❌ Salah
Mutasi diperlukan agar konsentrasi nol menjadi positif; dalam limit tanpa mutasi, batas-batasnya invarian.
Studi Kasus: Kompetisi Tiga Spesies pada Organisasi Konstan
Baca skenario di bawah ini dan jawab pertanyaannya.
Suatu jaringan reaksi prebiotik mengandung tiga spesies molekuler dengan konsentrasi , , dan . Sistem dijaga pada organisasi konstan dengan , sehingga . Dinamika seleksi mengikuti bentuk fluks ternormalisasi Φᵢ = · (xᵢ / ). Spesies 1 memiliki nilai selektif tertinggi, spesies 2 nilai menengah, dan spesies 3 nilai terendah. Asumsikan tidak ada mutasi dan dinamika bersifat deterministik.
Q
1. Jelaskan secara kualitatif lintasan komposisi pada simpleks konsentrasi dari titik awal di bagian dalam.
Jawaban: Komposisi akan bergerak menuju titik sudut yang bersesuaian dengan spesies 1, karena spesies tersebut memiliki nilai selektif tertinggi. Seiring waktu, naik menuju 1, sementara dan turun menuju 0. Konsentrasi total tetap pada . Jika tidak ada titik tetap internal, lintasan berakhir di titik sudut (1,0,0).
Q
2. Jelaskan bagaimana transformasi afin pada sistem koordinat x dapat digunakan untuk menganalisis sistem ini.
Jawaban: Transformasi afin memisahkan skala total dari frekuensi relatif. Ini mendefinisikan variabel baru yᵢ yang menghilangkan efek kendala pada persamaan, menghasilkan sistem yang disederhanakan yang menggambarkan dinamika komposisi secara langsung. Transformasi ini sudah dikenal dari persamaan diferensial linear dan membantu mengungkap struktur simpleks yang invarian serta aliran menuju titik sudut atau muka yang stabil.
Cara melakukan subdivisi baru ini disarankan oleh struktur persamaan diferensial (6). Hal ini sebenarnya bersesuaian dengan transformasi afin pada sistem koordinat x, yang sudah dikenal dari teori persamaan diferensial linear. Diperoleh himpunan persamaan baru untuk variabel populasi ter-transformasi yang berbunyi:
